Question

Помогите, пожалуйста, решить:

Исследовать ряды на сходимость. Для степенного ряда найти область сходимости:

   ∞

1)∑  = 1/ n*5^n

   n-1

2)∞

   ∑  =((-1)^n)*n / 2^n* (n+1)

   n-1

   ∞

3)∑  = ((n²-5)/5^n)*(x-5)^n

   n-3

 

Answer 1

Необходимым условием сходимости ряда, но не достаточным, является стремление общего члена к нулю.

1) $sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n5^n}$

Как видим общий член при n -> ∞ стремится к нулю. Ряд у нас положительный, применим признак Даламбера ($lim_{n to infty} |frac{a_{n+1}}{a_n}|$)

 

$lim_{n to infty} frac{n5^n}{(n+1)5^{n+1}} = frac{1}{5}<1$

т.е. ряд сходится абсолютно

 

2) Ряд является знакочередующимся, применим признак Лейбница (Если члены знакочередующегося ряда убывают по модулю, то ряд сходится.)

$lim_{n to infty} |frac{n}{2^n(n+1)}|=0$

- ряд сходится. Исследуем также на абсолютную и условную сходимости (Сходящийся ∑a(n) называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей ∑|a(n)|, иначе — сходящимся условно.)

$sum_{n=1}^{infty}|a_n|=sum_{n=1}^{infty}frac{n}{2^n(n+1)}$

воспользуемся признаком сравнения

$sum_{n=1}^{infty}frac{n}{2^n(n+1)}<sum_{n=1}^{infty}frac{1}{2^n}$

ряд справа сходится, т.е. наш ряд сходится абсолютно.

 

3) $sum_{n=3}^{infty}frac{n^2-5}{5^n}*(x-5)^n$

Воспользуемся признаком Даламбера

$lim_{n to infty} frac{(n+1)^2 - 5}{5^{n+1}}frac{5^n}{n^2-5}|x-5|=frac{1}{5}|x-5|$

Наш ряд будет сходится, если ⅕|x-5|<1 ⇔ |x-5|<5 ⇔ -5<x-5<5 ⇔ 0<x<10

Остается исследовать сходимость на концах интервала:

a) x=0

   $sum_{n=1}^{infty}frac{(-5)^n(n^2-5)}{5^n}=sum_{n=1}^{infty}(-1)^n(n^2-5)$

ряд расходится

б) x=10

  $sum_{n=3}^{infty}frac{5^n(n^2-5)}{5^n}=sum_{n=3}^{infty}(n^2-5)$

ряд расходится

Т.е. область сходимости ряда (0, 10)