Предмет: Алгебра, автор: Ewwas

Помогите, пожалуйста, решить:

Исследовать ряды на сходимость. Для степенного ряда найти область сходимости:

   ∞

1)∑  = 1/ n*5^n

   n-1


2)

   ∑  =((-1)^n)*n / 2^n* (n+1)

   n-1


   ∞

3)∑  = ((n²-5)/5^n)*(x-5)^n

   n-3


 

Ответы

Автор ответа: Guyver
0

Необходимым условием сходимости ряда, но не достаточным, является стремление общего члена к нулю.

1) sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n5^n}

Как видим общий член при n -> ∞ стремится к нулю. Ряд у нас положительный, применим признак Даламбера (lim_{n to infty} |frac{a_{n+1}}{a_n}| )

 

lim_{n to infty} frac{n5^n}{(n+1)5^{n+1}} = frac{1}{5}<1

т.е. ряд сходится абсолютно

 

2) Ряд является знакочередующимся, применим признак Лейбница (Если члены знакочередующегося ряда убывают по модулю, то ряд сходится.)

lim_{n to infty} |frac{n}{2^n(n+1)}|=0

- ряд сходится. Исследуем также на абсолютную и условную сходимости (Сходящийся ∑a(n) называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей ∑|a(n)|, иначе — сходящимся условно.)

sum_{n=1}^{infty}|a_n|=sum_{n=1}^{infty}frac{n}{2^n(n+1)}

воспользуемся признаком сравнения

sum_{n=1}^{infty}frac{n}{2^n(n+1)}<sum_{n=1}^{infty}frac{1}{2^n}

ряд справа сходится, т.е. наш ряд сходится абсолютно.

 

3) sum_{n=3}^{infty}frac{n^2-5}{5^n}*(x-5)^n

Воспользуемся признаком Даламбера

lim_{n to infty} frac{(n+1)^2 - 5}{5^{n+1}}frac{5^n}{n^2-5}|x-5|=frac{1}{5}|x-5|

Наш ряд будет сходится, если ⅕|x-5|<1 ⇔ |x-5|<5 ⇔ -5<x-5<5 ⇔ 0<x<10

Остается исследовать сходимость на концах интервала:

a) x=0

   sum_{n=1}^{infty}frac{(-5)^n(n^2-5)}{5^n}=sum_{n=1}^{infty}(-1)^n(n^2-5)

ряд расходится

б) x=10

  sum_{n=3}^{infty}frac{5^n(n^2-5)}{5^n}=sum_{n=3}^{infty}(n^2-5)

ряд расходится

Т.е. область сходимости ряда (0, 10)

Похожие вопросы
Предмет: Геометрия, автор: aminzonovamirzon