Question

Знайти границі послідовності.

Answer 1

Ответ: e⁻¹²

Объяснение:

Вспомним второй замечательный предел

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \bigg ( 1+ \frac{1}{n} \bigg) ^n = e$

Тогда

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \bigg ( \frac{5-x}{1-x} \bigg) ^{3x-1} = \lim_{x \to \infty} \bigg ( \frac{x-5}{x-1} \bigg) ^{3x-1} = \lim_{x \to \infty} \left ( \frac{x \bigg ( 1 - \dfrac{5}{x} \bigg)}{ x \bigg (1 - \dfrac{1}{x} \bigg) } \right) ^{3x-1} =$

$\displaystyle= \lim_{x \to \infty} \left ( \frac{ 1 - \dfrac{5}{x} }{ 1 - \dfrac{1}{x} } \right) ^{3x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{ \bigg ( 1 - \dfrac{5}{x} \bigg )^{3x} }{ \bigg ( 1 - \dfrac{1}{x}\bigg ) ^{3x} }\cdot \lim_{x \to \infty} \frac{ \bigg ( 1 - \dfrac{5}{x} \bigg )^{-1} }{ \bigg ( 1 - \dfrac{1}{x}\bigg ) ^{-1} } \right) =$

$\displaystyle =\lim_{x \to \infty} \frac{ \bigg ( 1 - \dfrac{5}{x} \bigg )^{3x} }{ \bigg ( 1 - \dfrac{1}{x}\bigg ) ^{3x} }\cdot \frac{1^{-1}}{1^{-1}} = \frac{ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \bigg ( 1 - \dfrac{5}{x} \bigg )^{3x} }{ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \bigg ( 1 - \dfrac{1}{x}\bigg ) ^{3x} }$

Рассмотрим отдельно числитель и знаменатель

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \bigg ( 1 - \dfrac{5}{x} \bigg )^{3x} = \left < \begin{array}{ccc} x = -5t \\ 3x = -15t \end{array}\right > = \lim_{-5t \to \infty} \bigg ( 1 - \dfrac{5}{-5t} \bigg )^{-15t} = \\\\\\ =\lim_{t \to \infty} \bigg ( 1 + \dfrac{1}{t} \bigg )^{-15t} = e^{-15}$

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \bigg ( 1 - \dfrac{1}{x}\bigg ) ^{3x}=\left < \begin{array}{ccc} x = -s \\ 3x = -3s \end{array}\right > = \lim_{-s \to \infty} \bigg ( 1 - \dfrac{1}{-s}\bigg ) ^{-3s} = \\\\\\\ =\lim_{s \to \infty} \bigg ( 1 +\dfrac{1}{s}\bigg ) ^{-3s} = e^{-3}$

Следовательно

$\frac{ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \bigg ( 1 - \dfrac{5}{x} \bigg )^{3x} }{ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \bigg ( 1 - \dfrac{1}{x}\bigg ) ^{3x} } = \dfrac{e^{-15}}{e^{-3}} = e^{-12}$