Question

Даю 100 баллов. Розв’язати лінійне диференціальне рівняння

Answer 1

$y'-\mathrm{ctg}\left(x\right)\,y-\dfrac{1}{\sin\left(x\right)}=0$

Сделаем замену $y=uv$, значит $y'=uv'+u'v$, то есть

$u\,v'+u'\,v-u\,v\,\mathrm{ctg}\left(x\right)=\dfrac{1}{\sin\left(x\right)}\Leftrightarrow u'\,v+u\,\left({v'-v\,\mathrm{ctg}\left(x\right)}\right)=\dfrac{1}{\sin\left(x\right)}\Leftrightarrow v'-v\,\mathrm{ctg}\left(x\right)=0\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow v'=v\,\mathrm{ctg}\left(x\right)\Leftrightarrow \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=v\,\mathrm{ctg}\left(x\right)\Leftrightarrow \mathrm{d}v=v\,\mathrm{ctg}\left(x\right)\,\mathrm{d}x\Rightarrow \int{\dfrac{1}{v}}{\;\mathrm{d}v}=\int{\mathrm{ctg}\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\Rightarrow \ln\left(v\right)=\ln\left(\sin\left(x\right)\right)\Rightarrow v=\sin\left(x\right)$

Теперь мы решаем второе уравнение

$u'\,\sin\left(x\right)=\dfrac{1}{\sin\left(x\right)}$

Мы поделим всё на $\sin(x)$ и умножим на $\mathrm{d}x$

$u'=\dfrac{1}{\sin^{2}\left(x\right)}\Leftrightarrow \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\dfrac{1}{\sin^{2}\left(x\right)}\Leftrightarrow \mathrm{d}u=\dfrac{\mathrm{d}x}{\sin^{2}\left(x\right)}\Rightarrow \\\Rightarrow \int{1}{\;\mathrm{d}u}=\int{\dfrac{1}{\sin^{2}\left(x\right)}}{\;\mathrm{d}x}\Rightarrow u=C-\dfrac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}$

Делаем обратную замену и получаем

$y=C\,\sin\left(x\right)-\cos\left(x\right)$