Question

Розв’язати однорідне диференціальне рівняння

Answer 1

$y'=\dfrac{-3\,{y}^{2}+x\,y+{x}^{2}}{{x}^{2}-4\,x\,y}\Leftrightarrow \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{-3\,{y}^{2}+x\,y+{x}^{2}}{{x}^{2}-4\,x\,y}$

Умножим всё на $\mathrm{d}x$ и сделаем замену $u=\frac{y}{x}$, тогда $y=ux$, а $\mathrm{d}y=u\mathrm{d}x+x\mathrm{d}u$, получаем

$u\,\mathrm{d}x+x\,\mathrm{d}u=\dfrac{\left(-3\,{u}^{2}+u+1\right)\,\mathrm{d}x}{1-4\,u}\Leftrightarrow x\,\mathrm{d}u=\left(\dfrac{-3\,{u}^{2}+u+1}{1-4\,u}-u\right)\,\mathrm{d}x$

$-\dfrac{\left(4\,u-1\right)\,\mathrm{d}u}{{u}^{2}+1}=\dfrac{\mathrm{d}x}{x}\Rightarrow \int{-\dfrac{4\,u-1}{{u}^{2}+1}}{\;\mathrm{d}u}=\int{\dfrac{1}{x}}{\;\mathrm{d}x}\Rightarrow \\\Rightarrow \mathrm{arctg}\left(u\right)-2\,\ln\left({u}^{2}+1\right)=\ln\left(x\right)+C\Rightarrow \\\Rightarrow\mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)-2\,\ln\left({y}^{2}+{x}^{2}\right)=C-3\,\ln\left(x\right)$