Помогите с аналитической геометрией
В треугольнике, образованном прямыми AB:7x+y-2=0, BC:5x+5y-4=0
и AC:2x-2y+5=0 найти уравнение высот
Ответы
Ответ:
Объяснение:
Для того чтобы найти уравнения высот треугольника, нужно найти координаты его вершин. Для этого решим систему из трех уравнений:
7x + y - 2 = 0 (уравнение прямой AB)
5x + 5y - 4 = 0 (уравнение прямой BC)
2x - 2y + 5 = 0 (уравнение прямой AC)
Решая эту систему, получаем x = 1 и y = -5. Таким образом, вершины треугольника имеют координаты:
A(0, 2), B(7, -5), C(1, -1)
Далее, для каждой вершины нам нужно найти уравнение прямой, проходящей через эту вершину и перпендикулярной стороне, противолежащей этой вершине.
Уравнение высоты, проходящей через вершину A и перпендикулярной стороне BC, можно найти следующим образом:
- найдем координаты середины стороны BC. Для этого найдем сначала координаты точек B и C:
B(7, -5)
C(1, -1)
А затем середины:
M(4, -3)
- найдем угловой коэффициент прямой BC (то есть тангенс угла наклона):
k_BC = (y_C - y_B) / (x_C - x_B) = (-1 - (-5)) / (1 - 7) = 1/2
- найдем угловой коэффициент высоты, проходящей через вершину A (то есть тангенс угла наклона):
k_hA = - 1 / k_BC = -2
- теперь мы знаем угловой коэффициент высоты и координаты точки A, поэтому можем записать уравнение высоты:
y - y_A = k_hA * (x - x_A)
y - 2 = -2 * (x - 0)
y = -2x + 2
Аналогично можно найти уравнения двух других высот. Результаты будут такими:
- уравнение высоты, проходящей через вершину B и перпендикулярной стороне AC: x + 2y - 9 = 0
- уравнение высоты, проходящей через вершину C и перпендикулярной стороне AB: x - 7y + 34 = 0