Question

1) cth(x)×y'' + y' = ch(x)
2) y'' + y' = 2sh(x)
3) 2(y^3 - y + xy)dy = dx, если y | x = -2 | = 0

Кто решит, тому плюсик в карму. Особенно с 3 вопросы, с 2 другими у меня хотя бы идеи есть

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$2(y^3-y+xy)dy=dx$

Умножим обе части этого уравнения на $e^{-y^2}$:

$\left(2y^3e^{-y^2}-2ye^{-y^2}+2xye^{-y^2}\right)dy+\left(-e^{-y^2}\right)dx=0$

Пусть $M=2y^3e^{-y^2}-2ye^{-y^2}+2xye^{-y^2}$ и $N=-e^{-y^2}$.

$\dfrac{\partial M}{\partial x}=2ye^{-y^2}=\dfrac{\partial N}{\partial y}$

Раз выполняется такое равенство, то это значит, что имеем уравнение в полных дифференциалах (а наш $e^{-y^2}$ - это интегрирующий множитель, который в данном случае нам удалось угадать [о некоторых алгоритмах его поиска читайте в соответствующей литературе]).

$U=\int -e^{-y^2}\,dx=-xe^{-y^2}+f(y)\;(*)$

$\dfrac{\partial U}{\partial y}=2xye^{-y^2}+f'(y)=2y^3e^{-y^2}-2ye^{-y^2}+2xye^{-y^2}$

Соответственно выражаем $f'(y)$, а затем $f(y):$

$f'(y)=2y^3e^{-y^2}-2ye^{-y^2}$

$f(y)=2\int y^3e^{-y^2}-ye^{-y^2}\,dy=...=-e^{-y^2}y^2$

Теперь просто подставляем $f(y)$ в $(*):$

$-xe^{-y^2}-e^{-y^2}y^2=C$

Эту запись можно сделать "красивее":

$e^{-y^2}\left(y^2+x\right)=\widetilde{C}$

Далее я так понимаю дают начальные условия $y(x=-2)=0$.

Просто подставим их в записанное выше и найдем $\widetilde{C}:$

$e^{-0^2}\left(0^2+(-2)\right)=\widetilde{C},\;\Rightarrow\;\widetilde{C}=-2$

Итого:

$e^{-y^2}\left(y^2+x\right)+2=0$

Уравнение решено!