Question

Решение задачи с параметром:
При каких "а" неравенство выполняется для всех х∈[-2;1]

$2x^3+9x+3|x+a-2|+2|2x-a+2|+ sqrt[5]{2x-3} leq 16$

Answer 1

исследуем функцию на монотонность.
Очевидно, что у=х³ и у=⁵√(2х-3) - возрастающие функции
докажем, что оставшаяся функции тоже возрастающая (см. фотки)

ответ: а=1

Answer 2

Если неравенство должно выполняться при всех x из [-2, 1], то, в частности, и при x = 1.

Подставляем x = 1:
2 + 9 + 3|a - 1| + 2|a - 4| - 1 <= 16
3|a - 1| + 2|a - 4| <= 6
|a - 1| + 2(|a - 1| + |a - 4|) <= 6 [*]

Пользуемся известным свойством: |x| + |x + a| >= a для всех x. Тогда второе слагаемое всегда не меньше 6. Чтобы вся правая скобка не превосходила 6, необходимо, чтобы неотрицательное |a - 1| было равно 0, т.е. a = 1. Подстановкой убеждаемся, что [*] выполняется при a = 1.

Итак, единственное претендующее на попадание в ответ a - это единица. Проверяем, выполнены ли условия задачи при a = 1.

Подставляем a = 1:
$2x^3+3x+3|x-1|+2|2x+1|+sqrt[5]{2x-3}leqslant 16$

Рассмотрим функцию $y(x)=2x^3+3x+3|x-1|+2|2x+1|+sqrt[5]{2x-3}$
Распишем, чему она равна при -2 <= x <= 1. Первый модуль раскроется как 1 - x, а второй будет раскрываться по-разному в зависимости от того, в каком промежутке лежит x.

а) x ∈ [-1/2, 1]. Второй модуль раскрывается как 2x + 1. Тогда вся функция упрощается до
$y(x)=2x^3+10x+sqrt[5]{2x-3}-11$
Заметим, что функция возрастает на этом отрезке, т.к. является суммой возрастающих функций и константы -11.

б) x ∈ [-2, -1/2]. Второй модуль превращается в -2x - 1. После упрощения
$y(x)=2x^3+2x+sqrt[5]{2x-3}-15$
И тут тоже функция возрастает, ну а поскольку она непрерывна, то возрастает на всём отрезке [-2, 1].

Итак, y(1) = 16 и возрастает на [-2, 1], значит, y(x) < y(1), если x < 1, значит, требуемое неравенство выполняется на отрезке, т.е. a = 1 входит в ответ.

Ответ. a = 1