Question

Решить уравнение: x^2 - 8[х] + 7 = 0
[х], это функция которую называют "целой частью числа x"

Answer 1

 $x^2-8[x]+7=0\\ x^2+7 = 8[x]\\ 8[x] in N\\ x^2+7 in N$ 
Очевидно что функцию 
$y=x^2+7$ возрастает на $xin(0;infty)$ быстрее чем $8[x]$ при учете неравенства $8[x] leq [8x]$ 
Так как 
$x^2-8x+7=0\ (x-1)(x-7)=0\ x=1\ x=7$      
$xin (0;7)$         
Функция $y=8[x]$ цикличная  возрастающая , с периодом $T=1$ 
$x^2+7=8[x]$  
положим что $x in (0;1)$ на этом интервале  видно что решений нет ак как $f(x) geq f_{1}(x)$
положим что $xin (1;2)$ на этом интервале так же нет решений      

Заметим  так же что $x$ представляется  в виде некоторого , квадратного корня из числа $sqrt{x}$ ,  так как  слева стоит  квадрат , в сумме которого  есть  целое число     . 
 $0<sqrt{x}<7\\ 0$
 $0<x<49$
проверяя  числа , подходит  лишь  
$x=sqrt{33} ; sqrt{41} ; 1 ;7$