Question

Решите уравнение: 
$sin^4x+cos^4x=sinxcosx$

Answer 1

$(sin^{2}x)^{2}+2sin^{2}x*cos^{2}x+(cos^{2}x)^{2}=sinx*cosx+2sin^{2}x*cos^2{x}$ - к обеим частям уравнения прибавили $2sin^{2}x*cos^{2}x$

$(sin^{2}x+cos^{2}x)^{2}=sinx*cosx+2sin^{2}x*cos^2{x}$ - слева основное тригонометрическое тождество

$1=sinx*cosx+2sin^{2}x*cos^2{x}$
$2(sinx*cosx)^{2}+sinx*cosx-1=0$
Замена: sinx*cosx=t

$2t^{2}+t-1=0, D=9$
$t_{1} = frac{-1-3}{4}=-1$
$t_{2} = frac{-1+3}{4}= frac{1}{2}$

Вернемся к замене:
$sinx*cosx=-1$ - домножим обе части на 2
$2sinx*cosx=-2$ - слева синус двойного угла
$sin(2x)=-2$ - нет решений, т.к. минимальное значение синуса равно -1

$sinx*cosx= frac{1}{2}$ - домножим обе части уравнения на 2
$2sinx*cosx=1$
$sin(2x)=1$
$2x= frac{ pi }{2} +2 pi k$
$x= frac{ pi }{4}+ pi k$

Ответ: x=π/4 + πk, k∈Z