Question

пусть n натуральное число. какая цифра стоит сразу после запятой в десятичной записи числа sqrt(n^2+n) ? я знаю что 4 докажите.

Answer 1

запишем выражение в виде n*sqrt(1+1/n)
вспоминаем ряд Маклорена для функции sqrt(1+x) при |x|<1
наш пример удовлетворяет условию
sqrt(1+1/n)=1+1/2n-1/8n^2+1/16n^3....
n*sqrt(1+1/n)=n+1/2-1/8n+1/16n^2...
остается показать что 1/8n+1/16n^2+....<0,1

 1/8n<0,1  n>10/8  n>=2

для n>=2 доказано. убедимся что свойство верно и для n=1

sqrt(1+1)=sqrt(2)=1,4....