Question

Найти область сходимости степенного ряда: (n+2)(x-5)^n/ (6^n-1)

Answer 1

$sum_{n=1}^{infty}frac{(n+2)(x-5)^n}{6^n-1}$

Используем признак Даламбера

$lim_{n to infty} frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} =lim_{n to infty} frac{(n+3)(x-5)^n|x-5|*(6^n-1)}{(n+2)(x-5)^n*(6^{n+1}-1)}= frac{|x-5|}{6}$

Из признака Даламбера ряд сходится, если предел меньше 1

$frac{|x-5|}{6}<1$

$<var>|x-5|<6, -1<x<11$

Остается исследовать сходимость на концах интервала

В этих точках ряд расходится.

-1<x<11 - ряд сходится