Question

Помогите бедному студенту)

Имеются 2 цилиндра: алюминиевый (сплошной) и свинцовый (полый) тонкий (m=0,5 кг) одинакового радиуса R=6,0 см и одинаковой массы. За какое время каждый цилиндр скатится без скольжения с наклонной плоскости? Высота наклонной плоскости h=0,50 м, угол наклона плоскости а =30. Начальная скорость каждого цилиндра равна нулю.

Answer 1

Будем считать, что сила трения качения пренебрежимо мала, а также пренебрежем сопротивлением воздуха. Тогда для обоих случаев должен выполняться закон сохранения полной механической энергии.

 1) Таким образом в обоих случаях цилиндры движутся под действием составляющей силы тяжести параллельной наклонной плоскости. Из второго закона Ньютона получим:

          $m*g*sinalpha=m*a$, отсюда 

           $a</var><var>=g*sinalpha$--------(1)

где $a$ - ускорение поступательного движения цилиндра.

       С другой стороны ускорение $a$ равно:

           $a</var><var>=frac{v-v_{o}}{t}</var>=<var>frac{v}{t}$-------(2)

где $v_{o}=0$ - начальная скорость (по условию)

      $v$ - скорость цилиндра через промежуток времени $t$, когда он коснется первый раз горизонтали.  

Из (1) и (2) найдем искомое время $t$:

             $t=frac{v}{g*sinalpha}$---------(3)

 

2) Конечную скорость $v$ найдем с помощью закона сохранения механической энергии:

$m*g*[h+R(cosalpha-1)]=frac{Jomega^{2}}{2}+frac{m*v^{2}}{2}$------(4)

       

      $J=k*m*R^{2}$ ------(5)

где $J$ - момент инерции цилиндра относительно его оси симметрии;

 $omega=frac{v}{R}$ --------(6)

     $omega$  - угловая скорость вращения цилиндра 

Подставим в (4) вместо $J$ и $omega$ выражения (5) и (6), получим после сокращения: 

 $g*[h+R(cosalpha-1)]=frac{k*v^{2}}{2}+frac{v^{2}}{2}$, отсюда

     

          $v=sqrt{frac{2g*[h+R(cosalpha-1)]}{k+1}}$----------(7)

 

Подставим в (3) вместо $v$ выражение (7), получим расчетную формулу для искомого времени:           

     

 $t=sqrt{frac{2*[h+R(cosalpha-1)]}{g*(k+1)sin^{2}alpha}}$

Расчет времени:

а) Для сплошного цилиндра, для которого $k=frac{1}{2}$:

       $t=sqrt{frac{2*[0,5+6*10^{-2}(frac{sqrt{3}}{2}-1)]}{9,8*(frac{3}{2})*frac{1}{4}}approx0,52$ с

 

б) Для тонкостенного цилиндра, для которого $k=1$ :

    $t=sqrt{frac{2*[0,5+6*10^{-2}(frac{sqrt{3}}{2}-1)]}{9,8*2*frac{1}{4}}approx0,45$