Даю 40 баллов. Очень срочно осталось 30 минут
1. Построить точки М = (3; 5; -6) и К = (-2; -6; 3)
2. Даны точки А(2; -1; 5), В(8; 5; -4), С(-2; 3; 1). Найти длину медианы и угол А
3. Даны векторы а(1; у; -4) и в(5; -3; -1). При каком значении у эти векторы перпендикулярны?
4. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми В1С и АС1, если АВ = 2, AD = 5, AA1 = 3
Ответы
Ответ:
1. Чтобы найти вектор, направленный от точки М(3; 5; -6) к точке К(-2; -6; 3), вычитаем координаты М из координат К:
Вектор МК = К - М = (-2 - 3; -6 - 5; 3 - (-6)) = (-5; -11; 9)
2. Длина медианы треугольника с вершинами в точках А(2; -1; 5), В(8; 5; -4), С(-2; 3; 1) может быть найдена с помощью формулы для длины вектора:
Длина медианы = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
Для медианы из точки А до середины стороны ВС:
Длина медианы = √(((-2 - 2)^2 + (3 - (-1))^2 + (1 - 5)^2)) = √((16 + 16 + 16)) = √48 = 4√3
Угол А можно найти с помощью скалярного произведения векторов AB и AC, а затем использовать формулу для нахождения угла между векторами:
Угол А = arccos((AB·AC) / (|AB| * |AC|))
Где · обозначает скалярное произведение, |AB| и |AC| - длины векторов AB и AC. Сначала найдем векторы AB и AC:
Вектор AB = B - A = (8 - 2; 5 - (-1); -4 - 5) = (6; 6; -9)
Вектор AC = C - A = (-2 - 2; 3 - (-1); 1 - 5) = (-4; 4; -4)
Теперь найдем скалярное произведение AB и AC:
AB·AC = (6 * -4) + (6 * 4) + (-9 * -4) = (-24 + 24 + 36) = 36
Длины векторов AB и AC:
|AB| = √(6^2 + 6^2 + (-9)^2) = √(36 + 36 + 81) = √(153)
|AC| = √((-4)^2 + 4^2 + (-4)^2) = √(16 + 16 + 16) = √48 = 4√3
Теперь можем найти угол А:
Угол А = arccos(36 / (4√3 * 4√3)) = arccos(36 / (48)) = arccos(3 / 4) ≈ 41.41 градусов
3. Для того чтобы векторы а(1; у; -4) и в(5; -3; -1) были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно нулю:
а·в = 1 * 5 + у * (-3) + (-4) * (-1) = 5 - 3у + 4 = 9 - 3у = 0
Теперь решим это уравнение относительно у:
9 - 3у = 0
-3у = -9
у = 3
Таким образом, при у = 3 векторы а(1; 3; -4) и в(5; -3; -1) будут перпендикулярными.
4. Для нахождения угла между прямыми В1С и АС1, используем скалярное произведение векторов направляющих прямых В1С и АС1:
Вектор В1С = C1 - B1 = (0 - 8; 0 - 5; 0 - (-4)) = (-8; -5; 4)
Вектор АС1 = C1 - A = (0 - 2; 0 - (-1); 0 - 5) = (-2; 1; -5)
Теперь найдем скалярное произведение В1С и АС1:
В1С·АС1 = (-8 * -2) + (-5 * 1) + (4 * -5) = (16 - 5 - 20) = -9
Длины векторов В1С и АС1:
|В1С| = √((-8)^2 + (-5)^2 + 4^2) = √(64 + 25 + 16) = √105
|АС1| = √((-2)^2 + 1^2 + (-5)^2) = √(4 + 1 + 25) = √30
Теперь можем найти угол между прямыми:
Угол между прямыми = arccos(В1С·АС1 / (|В1С| * |АС1|))
Угол между прямыми = arccos(-9 / (√105 * √30)) ≈ arccos(-0.2727) ≈ 100.2 градуса
Объяснение: