Question

найти локальные экстремумы

Answer 1

Ответ и Пошаговое объяснение:

Информация. 1) Необходимое условие экстремума:

Если дифференцируемая функция f(x, y) имеет экстремум в точке M₀(x₀; y₀), то обе частные производные первого порядка в данной точке равны нулю: $\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} f'_x(x_0, y_0)=0, \; f'_y(x_0, y_0)=0.$

Точку M₀(x₀; y₀) называют критической (стационарной) точкой.

2) Для значений частных производных второго порядка в точке M₀(x₀; y₀) введём обозначения:

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} A=f''_{xx}(x_0, y_0), \; B=f''_{xy}(x_0, y_0), \; C=f''_{yy}(x_0, y_0).$

Достаточное условие экстремума:

а) Если A·C-B²>0, то функция f(x, y) имеет экстремум в точке M₀(x₀; y₀), причём, если A>0, то это минимум, а если A<0 – то максимум.

б) Если A·C-B²<0, то в точке  нет экстремума.

в) Если A·C-B²=0, то требуется дополнительное исследование.

Решение. Вычислим частные производные первого порядка заданной функции $\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} f(x, y)=(x^2+y^2) \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y}$:

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} f'_x(x, y)=\bigg ((x^2+y^2) \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y} \bigg )'_x=(x^2+y^2)'_x \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y} +(x^2+y^2) \cdot \bigg (e^{3 \cdot x+2 \cdot y} \bigg )'_x=2 \cdot x \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y} +3 \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y} =(2 \cdot x+3) \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y} ;$

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} f'_y(x, y)=\bigg ((x^2+y^2) \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y} \bigg )'_y=(x^2+y^2)'_y \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y} +(x^2+y^2) \cdot \bigg (e^{3 \cdot x+2 \cdot y} \bigg )'_y=2 \cdot y \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y} +2 \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y} =(2 \cdot y+2) \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y} .$

Применим необходимое условие экстремума и найдём критические точки:

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} f'_x(x, y)=0 \Leftrightarrow (2 \cdot x+3) \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y} =0 \Leftrightarrow 2 \cdot x+3 =0 \Leftrightarrow x_0=-1,5;\\\\f'_y(x, y)=0 \Leftrightarrow (2 \cdot y+2) \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y} =0 \Leftrightarrow 2 \cdot y+2 =0 \Leftrightarrow y_0=-1.$

Значит, M₀(-1,5; -1) - критическая точка.

Вычислим частные производные второго порядка от заданной функции в критической точке:

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} f''_{xx}(x, y)=\bigg ((2 \cdot x+3) \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y} \bigg )'_x= \\\\=(2 \cdot x+3)'_x \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y} +(2 \cdot x+3) \cdot \bigg (e^{3 \cdot x+2 \cdot y} \bigg )'_x=\\\\=2 \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y} +(2 \cdot x+3) \cdot 3 \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y} = (6 \cdot x+11) \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y};$

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} f''_{xy}(x, y)=\bigg ((2 \cdot x+3) \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y} \bigg )'_y= \\\\=(2 \cdot x+3)'_y \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y} +(2 \cdot x+3) \cdot \bigg (e^{3 \cdot x+2 \cdot y} \bigg )'_y=\\\\=0 \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y} +(2 \cdot x+3) \cdot 2 \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y} = (4 \cdot x+6) \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y};$

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} f'_{yy}(x, y)=\bigg ((2 \cdot y+2) \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y} \bigg )'_y=(2 \cdot y+2)'_y \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y} +(2 \cdot y+2) \cdot \bigg (e^{3 \cdot x+2 \cdot y} \bigg )'_y=2 \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y} +(2 \cdot y+2) \cdot2 \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y} =(4 \cdot y+6) \cdot e^{3 \cdot x+2 \cdot y}.$

Вычислим значения частных производных второго порядка в точке M₀(-1,5; -1):

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} A=f''_{xx}(-1,5; -1)=(6 \cdot (-1,5)+11) \cdot e^{3 \cdot (-1,5)+2 \cdot (-1)}=2\cdot e^{-6,5};$

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} B=f''_{xy}(-1,5; -1)= (4 \cdot (-1,5)+6) \cdot e^{3 \cdot (-1,5)+2 \cdot (-1)}=0\cdot e^{-6,5}=0;$

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} C=f'_{yy}(-1,5; -1)=(4 \cdot (-1)+6) \cdot e^{3 \cdot (-1,5)+2 \cdot (-1)}=2 \cdot e^{-6,5}.$

Так как $\tt \large \boldsymbol {} A = 2 \cdot e^{-6,5} > 0$ и

$\tt \large \boldsymbol {} A \cdot C-B^2 = 2 \cdot e^{-6,5} \cdot 2 \cdot e^{-6,5} -0^2=4 \cdot e^{-6,5} > 0,$

то точка M₀(-1,5; -1) - точка максимума и экстремум функции равен

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} f(-1,5; -1)=((-1,5)^2+(-1)^2) \cdot e^{3 \cdot (-1,5)+2 \cdot (-1)}=3,25 \cdot e^{-6,5}.$

#SPJ1