Question

Вычислить несобственный интеграл или доказать рассходимость.

Answer 1

Ответ:

1)  Несобственный интеграл 1 рода .

$\bf \displaystyle \int\limits_{1}^{\infty }\, \frac{dx}{x\, (ln^2x+4)}=\lim\limits_{A \to +\infty}\, \int\limits_{1}^{A}\, \frac{dx}{x\, (ln^2x+4)}=Q$  

Вычислим сначала неопределённый интеграл, найдём первообразную методом замены переменной .

$\bf \displaystyle \star \ \ \int \frac{dx}{x\, (ln^2x+4)}=\Big[\ t=lnx\ ,\ dt=\frac{dx}{x}\ \Big]=\int \frac{dt}{t^2+4}=\\\\\\=\frac{1}{2}\cdot arctg\frac{t}{2}+C=\frac{1}{2}\cdot arctg\, \frac{lnx}{2}+C\ \ \star$  

$\bf \displaystyle Q=\lim\limits_{A \to +\infty}\Big(\frac{1}{2}\cdot arctg\, \frac{lnx}{2}\Big)\Big|_1^{A}=\lim\limits_{A \to +\infty}\Big(\frac{1}{2}\cdot arctg\frac{lnA}{2}-\frac{1}{2}\cdot arctg\, 0\Big)=\\\\\\=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}$  

Так как получили в результате константу, то несобственный  интеграл сходится .  

2) Несобственный интеграл 2 рода . Первообразную находим способом подстановки .

$\bf \displaystyle \int \frac{sin2x}{\sqrt[5]{\bf 1-sin^2x}}\, dx=\Big[\ t=1-sin^2x\ ,\ dt=-2\, sinx\cdot cosx\, dx=-sin2x\, dx\ \Big]=\\\\\\=-\int \frac{dt}{\sqrt[5]{\bf t}}=-\int \, t^{-\frac{1}{5}}\, dt=-\frac{5\, t^{\frac{4}{5}}}{4}+C=-\frac{5}{4}\cdot \sqrt[5]{\bf t^4}+C=\\\\\\=-\frac{5}{4}\cdot \sqrt[5]{\bf (1-sin^2x)^4}+C$  

$\bf \displaystyle \int \limits _0^{\frac{\pi }{2}}\frac{sin2x}{\sqrt[5]{\bf 1-sin^2x}}\, dx=\lim\limits _{b\to \frac{\pi }{2}-0}\, \int \limits _0^{b}\frac{sin2x}{\sqrt[5]{\bf 1-sin^2x}}\, dx=\\\\\\=\lim\limits _{b\to \frac{\pi }{2}-0}\ \Big(-\frac{5}{4}\cdot \sqrt[5]{\bf (1-sin^2x)^4}\, \Big|_0^{b}\Big)=\\\\\\=-\frac{5}{4}\cdot \lim\limits _{b\to \frac{\pi }{2}-0}\Big(\underbrace{\sqrt[5]{\bf (1-sin^2b)^4}}_{0}}-\underbrace{\sqrt[5]{\bf (1-sin^20)^4}}_{1}\Big)=-\frac{5}{4}\cdot (0-1)=\frac{5}{4}$      

Несобственный интеграл сходится .