Question

Сумма площадей всех треугольников, вершины которых также являются вершинами куба 1x 1 x1, равна $m+\sqrt{n}+\sqrt{p}$, где m, n и p — целые числа. Найдите m+n+p

Answer 1

Мы можем получить три возможных типа треугольников

$1 \cdot 1 \cdot \sqrt2, 1 \cdot \sqrt2 \cdot \sqrt3, \sqrt2 \cdot \sqrt2 \cdot \sqrt2$

Чтобы получить первый тип, мы можем просто выбрать грань, а таких треугольников четыре, поэтому существует $6 \cdot 4 = 24$ способов получить этот треугольник, площадь которого составляет $\frac{1}{2}$. Чтобы получить второй тип, мы берем обе точки на одном из двенадцати ребер, а затем выбираем одну из двух вершин, которые отличаются по высоте, что дает снова $12 \cdot 2 = 24$ способов получить этот треугольник, площадь которого составляет $\frac{\sqrt2}{2}$. Наконец, чтобы получить третий тип, должно быть $56 - 24 - 24 = 8$ таких треугольников, имеющих площадь $\frac{\sqrt3}{2}$. Значит

$12+12\sqrt2+4\sqrt3 = 12 + \sqrt{288} + \sqrt{48}\Rightarrow 348$