Question

Вычислить $\lim_{n\to \infty} \left( cos(1/n)-sin(1/n) \right) ^n$

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

Шаг 1 (стандартный для таких пределов переход):

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\cos\dfrac{1}{n}-\sin\dfrac{1}{n}\right)^n=e^{\lim\limits_{n\to\infty}n\ln\left(\cos\frac{1}{n}-\sin\frac{1}{n}\right)}$

Теперь будем вычислять предел:

$\lim\limits_{n\to\infty}n\ln\left(\cos\dfrac{1}{n}-\sin\dfrac{1}{n}\right)$

Шаг 2 (вспоминаем про цепочку эквивалентности, а именно $\ln\left(1+x\right)\sim x,\;x\to0$):

$\lim\limits_{n\to\infty}n\ln\left(1+\left(\cos\dfrac{1}{n}-\sin\dfrac{1}{n}-1\right)\right)=\lim\limits_{n\to\infty}n\left(\cos\dfrac{1}{n}-\sin\dfrac{1}{n}-1\right)$

Шаг 3 (вычисляем предел из шага 2):

$\lim\limits_{n\to\infty}n\left(\cos\dfrac{1}{n}-\sin\dfrac{1}{n}-1\right)=-\lim\limits_{n\to\infty}\left(n\left(1-\cos\dfrac{1}{n}\right)\right)-\lim\limits_{n\to\infty}\left(n\cdot\dfrac{1}{n}\right)=\\=-\lim\limits_{n\to\infty}\left(n\cdot\dfrac{1}{2n^2}\right)-1=-1$

Шаг 4 (записываем ответ):

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\cos\dfrac{1}{n}-\sin\dfrac{1}{n}\right)^n=\dfrac{1}{e}$

Задание выполнено!