Question

Доказать, что функция f не является непрерывной в точке x0; построить график этой функции,если:
$f(x)=\left \{ {{\frac{1}{x},\ x\neq0 } \atop {0, \ x=0}} \right. \\x0=0$

Answer 1

Чтобы быть непрерывным при $x=0$, нужно, чтобы $\lim_{x\to 0}f(x)=0$. Это то же самое, что сказать $(\forall\varepsilon > 0)(\exists\delta > 0)(\forall x\in\mathbb{R})(0 < |x| < \delta\implies|f(x)| < \varepsilon)$

Однако в этом случае $0 < |x| < \delta\implies |f(x)| > \frac{1}{\delta}$ с условием неравенства на $f(x)$ имеет неправильное направление. Поэтому $\lim_{x\to 0}f(x)\neq 0$ и $f$ является прерывным при $x=0$