Question

Даю 100 баллов Розв’язати рівняння в повних диференціалах

Answer 1

$\left(2\,\mathrm{arctg}\left(x\right)\,y-\dfrac{{x}^{2}}{2\,\sqrt{1-{y}^{2}}}\right)\,\mathrm{d}y+\left(\dfrac{{y}^{2}}{{x}^{2}+1}-x\,\arcsin\left(y\right)\right)\,\mathrm{d}x=0$

Это уравнение в полных дифференциалах. Проверим на полный дифференциал

$M\left(x,\,y\right)=2\,\mathrm{arctg}\left(x\right)\,y-\dfrac{{x}^{2}}{2\,\sqrt{1-{y}^{2}}}\Rightarrow M\left(x,\,y\right)'_{x}=-\dfrac{1}{2}\cdot \left(\dfrac{{x}^{2}}{\sqrt{1-{y}^{2}}}\right)'_{x}+2\cdot \left(\mathrm{arctg}\left(x\right)\,y\right)'_{x}=$$=-\dfrac{1}{2}\cdot \frac{\left({x}^{2}\right)'_{x}\cdot \sqrt{1-{y}^{2}}-\left(\sqrt{1-{y}^{2}}\right)'_{x}\cdot {x}^{2}}{1-{y}^{2}}+2\cdot \left(\left(\mathrm{arctg}\left(x\right)\right)'_{x}\cdot y+\left(y\right)'_{x}\cdot \mathrm{arctg}\left(x\right)\right)=\\=-\dfrac{1}{2}\cdot \frac{2\,x\,\sqrt{1-{y}^{2}}-\dfrac{{x}^{2}}{2\,\sqrt{1-{y}^{2}}}\cdot \left(-2\cdot y\cdot y'+0\right)}{1-{y}^{2}}+2\,\left(\mathrm{arctg}\left(x\right)\,y'+\dfrac{y}{{x}^{2}+1}\right)=$$=2\,\left(\mathrm{arctg}\left(x\right)\,y'+\dfrac{y}{{x}^{2}+1}\right)-\dfrac{{x}^{2}\,y\,y'}{2\,\left({1-{y}^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}}-\dfrac{x}{\sqrt{1-{y}^{2}}}$

$N\left(x,\,y\right)=\dfrac{{y}^{2}}{{x}^{2}+1}-x\,\arcsin\left(y\right)\Rightarrow N\left(x,\,y\right)'_{y}=-\left(x\,\arcsin\left(y\right)\right)'_{y}+\left(\dfrac{{y}^{2}}{{x}^{2}+1}\right)'_{y}=\\=-\left(\left(x\right)'_{y}\cdot \arcsin\left(y\right)+\left(\arcsin\left(y\right)\right)'_{y}\cdot x\right)+\frac{\left({y}^{2}\right)'_{y}\cdot \left({x}^{2}+1\right)-\left({x}^{2}+1\right)'_{y}\cdot {y}^{2}}{\left({{x}^{2}+1}\right)^{2}}=$$=-x'\,\arcsin\left(y\right)+\dfrac{x}{\sqrt{1-{y}^{2}}}+\frac{2\,\left({x}^{2}+1\right)\,y-\left(2\cdot x\cdot x'+0\right)\cdot {y}^{2}}{\left({{x}^{2}+1}\right)^{2}}=\\=-x'\,\arcsin\left(y\right)-\dfrac{x}{\sqrt{1-{y}^{2}}}+\dfrac{2\,\left({x}^{2}+1\right)\,y-2\,x\,x'\,{y}^{2}}{\left({{x}^{2}+1}\right)^{2}}$

Найдём $F(x,y)$

$\mathrm{d}F(x,\,y)=M\left(x,\,y\right)\,\mathrm{d}y+N\left(x,\,y\right)\,\mathrm{d}x=\int \left (\frac{y^2}{x^2+1}-x\arcsin (y) \right )dx=\arcsin (x)y^2-\frac{x^2\arcsin (y)}{2}+C_y$

Это и есть наше решение

Интеграл не стал расписывать, так как он табличный