Помогите с аналитической геометрией
Написать уравнение биссектрисы того угла между прямыми x-7y-1=0 и x+y+7=0, в котором лежит точка a(1,1)
Ответы
Ответ:
Сначала найдем угол между данными прямыми. Для этого переведем уравнения в общий вид:
x - 7y - 1 = 0 => y = (1/7)x - 1/7
x + y + 7 = 0 => y = -x - 7
Наклонные углы этих прямых будут равны тангенсам углов наклона:
tgα1 = 1/7
tgα2 = -1
Угол между прямыми найдем по формуле:
tgβ = |(tgα1 - tgα2) / (1 + tgα1 * tgα2)| = |(1/7 + 1) / (1 - 1/7)| = 8/3
Тогда угол β равен arctg(8/3), его половина будет равна arctg(8/6) = arctg(4/3)
Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точку a(1,1) и образующую с данными прямыми угол β/2.
Для этого воспользуемся формулой:
tg(β/2) = |(k1 - k2) / (1 + k1 * k2)|
где k1 и k2 - коэффициенты наклона данных прямых.
k1 = 1/7, k2 = -1
tg(β/2) = |(1/7 + 1) / (1 - 1/7)| = 4/3
Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точку a(1,1) и имеющей такой же тангенс угла наклона:
y - 1 = (4/3)*(x - 1)
3y - 3 = 4x - 4
4x - 3y + 1 = 0
Ответ: уравнение биссектрисы угла между прямыми x-7y-1=0 и x+y+7=0, проходящей через точку a(1,1), равно 4x - 3y + 1 = 0.