Найдите геометрическое место точек: а) запишите в виде формул расстояние d и d, от точки P(x;y;z) до точек 0(0;0;0) и А(2;-4;-2); б) запишите уравнение d1 = d2, возведите его в квадрат, проведите преобразования и получите уравнение вида Ах + By + Cz + D = 0; в)сформулируйте, что является геометрическим местом точек, равноудаленных от точек О и А; г) найдите уравнение плоскости, являющейся геометрическим местом точек, равноудаленных от точек А(1; -1; 3) и В(3; 5;-1).
Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
а) Расстояние d от точки P(x; y; z) до точки O(0; 0; 0) можно найти с помощью формулы:
d = √((x - 0)² + (y - 0)² + (z - 0)²)
= √(x² + y² + z²)
Расстояние d от точки P(x; y; z) до точки A(2; -4; -2) можно найти аналогичным образом:
d = √((x - 2)² + (y - (-4))² + (z - (-2))²)
= √((x - 2)² + (y + 4)² + (z + 2)²)
б) Уравнение d₁ = d₂ можно записать в виде:
√(x² + y² + z²) = √((x - 2)² + (y + 4)² + (z + 2)²)
Возводя это уравнение в квадрат, получаем:
x² + y² + z² = (x - 2)² + (y + 4)² + (z + 2)²
Преобразовывая это уравнение, получаем уравнение вида Ах + By + Cz + D = 0:
x² + y² + z² - (x - 2)² - (y + 4)² - (z + 2)² = 0
x² + y² + z² - (x² - 4x + 4) - (y² + 8y + 16) - (z² + 4z + 4) = 0
-4x - 8y - 4z + 20 = 0
4x + 8y + 4z - 20 = 0
в) Геометрическим местом точек, равноудаленных от точек O(0; 0; 0) и A(2; -4; -2), является сфера с центром в точке O и радиусом, равным расстоянию между точками O и A.
г) Чтобы найти уравнение плоскости, являющейся геометрическим местом точек, равноудаленных от точек A(1; -1; 3) и B(3; 5; -1), мы можем использовать серединный перпендикуляр к отрезку AB.
Сначала найдем координаты середины отрезка AB:
x = (1 + 3) / 2 = 2
y = (-1 + 5) / 2 = 2
z = (3 - 1) / 2 = 1
Теперь найдем направляющий вектор плоскости, который равен разности координат точек A и B:
u = B - A = (3 - 1, 5 - (-1), -1 - 3) = (2, 6, -4)
Таким образом, уравнение плоскости имеет вид:
2(x - 2) + 6(y - 2) - 4(z - 1) = 0
2x + 6y - 4z - 2 + 12 - 4 = 0
2x + 6y - 4z + 6 = 0
x + 3y - 2z + 3 = 0