Question

Знайдіть найбільше і найменша значення функції у = f(x) на проміжку
1) f(x) = x^4 - 8x² + 3, [1,3]
2)g(x)=x^3+3x^2+1, x € [-3,1]​

Answer 1

Ответ:

1) Щоб знайти найбільше і найменше значення функції f(x) = x^4 - 8x² + 3 на проміжку [1, 3], спочатку визначимо критичні точки, де похідна дорівнює нулю або не існує.

Похідна функції f(x) = x^4 - 8x² + 3:

f'(x) = 4x³ - 16x

Тепер знайдемо критичні точки, розв'язавши рівняння f'(x) = 0:

4x³ - 16x = 0

4x(x² - 4) = 0

x(x + 2)(x - 2) = 0

Отримуємо три критичні точки: x = -2, x = 0, x = 2.

Тепер визначимо значення функції f(x) в критичних точках та на кінцях проміжку [1, 3]:

f(1) = (1)^4 - 8(1)² + 3 = 1 - 8 + 3 = -4

f(3) = (3)^4 - 8(3)² + 3 = 81 - 72 + 3 = 12

f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)² + 3 = 16 - 32 + 3 = -13

f(0) = (0)^4 - 8(0)² + 3 = 3

Отже, найбільше значення функції на проміжку [1, 3] - це 12, а найменше значення -13.

2) Для функції g(x) = x^3 + 3x^2 + 1 на проміжку [-3, 1], ми також визначимо критичні точки, де похідна дорівнює нулю або не існує.

Похідна функції g(x) = x^3 + 3x^2 + 1:

g'(x) = 3x² + 6x

Знайдемо критичні точки, розв'язавши рівняння g'(x) = 0:

3x² + 6x = 0

3x(x + 2) = 0

x(x + 2) = 0

Отримуємо дві критичні точки: x = 0, x = -2.

Тепер визначимо значення функції g(x) в критичних точках та на кінцях проміжку [-3, 1]:

g(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 + 1 = -27 +

27 + 1 = 1

g(1) = (1)^3 + 3(1)^2 + 1 = 1 + 3 + 1 = 5

g(0) = (0)^3 + 3(0)^2 + 1 = 1

g(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 + 1 = -8 + 12 + 1 = 5

Отже, найбільше значення функції на проміжку [-3, 1] - це 5, а найменше значення - 27.