Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках A(1; - 1) B(- 4; 4) C(- 2; 6) i ) (3; 1) є прямокутником
Ответы
Ответ:Щоб довести, що чотирикутник ABCD є прямокутником, потрібно перевірити дві умови:
1. Діагоналі ABCD перетинаються в середині і діляться навпіл.
2. Кути прямокутника прямі.
Для перевірки першої умови знайдемо координати середини діагоналі AC і діагоналі BD:
Середина діагоналі AC:
x = (1 - 2) / 2 = -0.5
y = (-1 + 6) / 2 = 2.5
Середина діагоналі BD:
x = (-4 + 3) / 2 = -0.5
y = (4 + 1) / 2 = 2.5
Отже, точка перетину діагоналей лежить в точці (-0.5; 2.5).
Друга умова виконується, якщо будь-які дві протилежні сторони чотирикутника ABCD перпендикулярні. Для перевірки цього умови знайдемо кут між векторами AB і BC, і кут між векторами AD і DC.
Вектор AB:
x = (-4 - 1) = -5
y = (4 - (-1)) = 5
Вектор BC:
x = (-2 - (-4)) = 2
y = (6 - 4) = 2
Вектор AD:
x = (3 - 1) = 2
y = (1 - (-1)) = 2
Вектор DC:
x = (3 - (-2)) = 5
y = (1 - 6) = -5
Тут ми використали формулу для знаходження координат вектора: (x2 - x1; y2 - y1)
Знайдемо добуток скалярного добутку для векторів AB і BC і для векторів AD і DC:
AB*BC = (-5 * 2 + 5 * 2) = 0
AD*DC = (2 * 5 + 2 * (-5)) = 0
Отже, кути між векторами AB і BC, і між векторами AD і DC, дорівнюють 90 градусів. Звідси випливає, що протилежні сторони чотирикутника ABCD перпендикулярні.
Отже, ми довели, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках A(1; -1) B(-4; 4) C(-2; 6) і D(3; 1) є прямокутником.
Объяснение: