Question

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AK и BL.Найдите угол А,если луч KL биссектриса угла AKC
Можно подробное решение пожалуйста :)

Answer 1

Ответ:

∠А=120°

Объяснение:

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AK и BL.Найдите угол А,если луч KL биссектриса угла AKC.

Свойство биссектрисы:

Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Дано: △АВС.

АК - биссектриса ∠А ⇒ ∠2=∠3;

BL - биссектриса ∠В ⇒ ∠ABL=∠LBC.

Найти: ∠А

1.

Через вершину В △АВС проведём прямую, параллельную АК, до пересечения с прямой АС в точке G. BG || AK.

Получили:

∠1=∠2 - как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых BG и AK и секущей AB.

∠2=∠3 - по условию,

∠3=∠4 - как соответственные углы при параллельных прямых BG и AK и секущей GC

Следовательно: ∠1=∠4 и △ABG - равнобедренный с основанием BG.

AB=AG - как боковые стороны равнобедренного треугольника.

2.

Воспользуемся свойством биссектрисы.

BL - биссектриса, ⇒

$\dfrac{AL}{LC} = \dfrac{BA}{BC}$

KL - биссектриса, ⇒

$\dfrac{AL}{LC} = \dfrac{KA}{KC}$

Следовательно:

(1) $\bf \dfrac{KA}{KC} = \dfrac{BA}{BC}$

3.

Рассмотрим △АСК и △GCB:

• ∠3=∠4 - п.1.
• ∠С - общий

△ACK ~ △GCB по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответственных сторон:

$\dfrac{KA}{BG} = \dfrac{KC}{BC}$

или по свойству пропорции:

(2) $\bf \dfrac{KA}{KC} = \dfrac{BG}{BC}$

Таким образом, сравнивая равенства (1) и (2), приходим к выводу, что BA=BG, а значит △ABG - равносторонний. Поэтому ∠BAG=∠1=∠4=60°.

4.

Так как ∠4=∠3=∠2, то угол А, треугольника АВС будет равен:

∠А=∠2+∠3=2•60°=120°

Ответ: 120°

#SPJ1