Question

Треуг. КМН равносторонний. На сторонах КМ и КН отмечены точки П и Так, что КП:ПМ=НР:РК=2:3.отрезки МР и НП пересекаются в точке С. Док, что Угол НСР=60°,и треуг. КПН подобен треуг. СРН.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Позначимо сторону рівностороннього трикутника КМН як a.

Оскільки КП:ПМ=2:3, то МП складається з 2 частин, а ПК складається з 3 частин.

Отже, КМ:МР=5:2 і МР:КР=3:2, що означає, що КМ:КР=5:4.

Також зі схожості трикутників КПН і СРН можна записати наступне:

КП:ПН=КС:СР

Оскільки КП:ПМ=2:3, то КП складається з 2 частин, а ПН складається з 5 частин.

Отже, КП:ПН=2:5.

КМ:КР=5:4, тому ПМ:НР=5:4.

Позначимо довжину відрізка НР як х.

Тоді відрізок ПМ має довжину 5/4 х, а відрізок КП має довжину 2/7 a.

З теореми Піфагора для трикутника СМР:

СМ^2 = СР^2 + МР^2

Оскільки трикутник КМН є рівностороннім, то КС = НС = 1/2 a.

Отже, СМ^2 = (1/2 a)^2 + (5/4 х)^2

З теореми Піфагора для трикутника СПН:

СП^2 = СР^2 + ПН^2

Оскільки КП:ПН=2:5, то КП = 2/7 a, а ПН = 5/7 a.

Отже, СП^2 = (2/7 a)^2 + (5/7 a)^2 = 4/49 a^2 + 25/49 a^2 = 29/49 a^2

З теореми Піфагора для трикутника СКП:

СК^2 = СР^2 + ПК^2

Оскільки КП:ПМ=2:3, то КП = 2/7 a, а ПК = 5/7 a.

Отже, СК^2 = (1/2 a)^2 + (5/7 a)^2 = 1/4 a^2 + 25/49 a^2 = 29/98 a^2

Так як трикутник КМН є рівностороннім, то усі його кути дорівнюють 60 градусам.

Отже, також маємо, що кут НСР дорівнює 60 градусам.

Також з рівності ПК