Question

Даны точки A(-5;2), B(-3;1), C(-7;4).
а)Найдите координаты и модуль вектора 4AB - 3BC;
б) разложить вектор AB по векторам AC и BC;
в) найдите косинусугла между векторами AB и AC.

Answer 1

Ответ:

а) Вектор AB:

AB = B - A = (-3; 1) - (-5; 2) = (2; -1)

Вектор BC:

BC = C - B = (-7; 4) - (-3; 1) = (-4; 3)

Теперь найдем вектор 4AB - 3BC:

4AB - 3BC = 4(2; -1) - 3(-4; 3) = (8; -4) - (-12; 9) = (8 + 12; -4 - 9) = (20; -13)

Модуль вектора 4AB - 3BC:

|4AB - 3BC| = sqrt(20^2 + (-13)^2) ≈ 23.9

Ответ: координаты вектора 4AB - 3BC равны (20; -13), модуль вектора ≈ 23.9.

б) Разложим вектор AB по векторам AC и BC:

AB = xAC + yBC

Найдем коэффициенты x и y, используя систему уравнений:

x + y = 1 (коэффициенты должны сложиться в единицу, так как AB = AC + BC)

-5x - 3y = -2 (координаты точки A должны совпадать с координатами разложенного вектора)

Решив эту систему уравнений, получаем:

x = -1, y = 2

Тогда разложенный вектор AB имеет вид:

AB = -1AC + 2BC = -1*(-7; 4) + 2*(-4; 3) = (7; -4) + (-8; 6) = (-1; 2)

Ответ: вектор AB разложен по векторам AC и BC как AB = -AC + 2BC = (-1; 2).

в) Найдем косинус угла между векторами AB и AC, используя их скалярное произведение:

cos α = (AB * AC) / (|AB|*|AC|)

AB * AC = (2 * (-7)) + (-1 * 4) = -18

|AB| = sqrt(2^2 + (-1)^2) = sqrt(5)

|AC| = sqrt((-7)^2 + 4^2) = sqrt(65)

Тогда косинус угла α равен:

cos α = -18 / (sqrt(5) * sqrt(65)) ≈ -0.522

Ответ: косинус угла между векторами AB и AC равен примерно -0.522.

Объяснение: