2. Найдите точки экстремума функции, промежутки возрастания и убывания рункции f(x) = 2x³ + 9x² - 24x+2.
Ответы
Ответ:
точка (-4, 34) является точкой максимума функции, а точка (1, -11) - точкой минимума функции.
Объяснение:
Для нахождения экстремумов и промежутков возрастания и убывания функции f(x) = 2x³ + 9x² - 24x + 2 необходимо найти производную и приравнять её к нулю:
f'(x) = 6x² + 18x - 24
Теперь найдём корни этого уравнения:
6x² + 18x - 24 = 0
x² + 3x - 4 = 0
(x + 4)(x - 1) = 0
x1 = -4, x2 = 1
Это значит, что в точках x = -4 и x = 1 могут находиться экстремумы функции.
Теперь проанализируем знак производной на промежутках между корнями и налево от первого корня и направо от второго корня:
f'(x) > 0 на промежутке (-беск., -4) ∪ (1, +беск.)
f'(x) < 0 на промежутке (-4, 1)
Это значит, что функция возрастает на промежутках (-беск., -4) ∪ (1, +беск.) и убывает на промежутке (-4, 1).
Теперь найдём значения функции в точках x = -4 и x = 1:
f(-4) = 34
f(1) = -11
Таким образом, точка (-4, 34) является точкой максимума функции, а точка (1, -11) - точкой минимума функции.