Question

Доведіть нерівність sin (α + β) < cos α + cos β, де 0 < α < $\frac{\pi }{2}$, 0 < β < $\frac{\pi }{2}$

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

Скористаємося тригонометричною тотожністю sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y та нерівністю sin x < cos x для 0 < x < $\frac{\pi }{2}$ .

Починаючи з лівої частини нерівності, маємо:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β < cos α + cos β

Оскільки sin α і sin β додатні, ми можемо помножити обидві частини нерівності на них, щоб отримати:

sin α sin β < sin α cos β + cos α cos β

Використовуючи тотожність sin x^2 + cos x^2 = 1, ми спрощуємо праву частину нерівності:

sin α sin β < sin ($\frac{\pi }{2}$ - α) + sin ($\frac{\pi }{2}$ - β) = cos a + cos b

Таким чином, ми довели нерівність sin (α + β) < cos α + cos β для 0 < α < $\frac{\pi }{2}$, 0 < β < $\frac {\pi }{2}$.