Question

Знайти найменше та найбільше значення функції f(x) на проміжку [0;1]

Answer 1

Ответ:

f(x) наиб. = 3,6;     f(x) наим. = 3

Пошаговое объяснение:

Найти наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на промежутке [0; 1]

$\displaystyle \bf f(x)=4-e^{-x^2}$

Найдем значение функции на концах отрезка.

$\displaystyle f(0)=4-e^{-0^2}=4-1=\boxed {3}$

$\displaystyle f(1)=4-e^{-1^2}=4-\frac{1}{e} \approx \boxed {3,6}$

Найдем экстремумы функции.

Для этого найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

$\displaystyle f'(x)=-e^{-x^2}\cdot (-x^2)'=-e^{-x^2}\cdot (-2x)=2x\cdot e^{-x^2}$

$\displaystyle e^{-x^2} > 0$ при любом значении х.

⇒ f'(x) = 0  при х = 0.

$---[0]+++$

Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

Если производная меняет знак с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

x min = 0

Эта точка принадлежит данному интервалу. Значение функции в этой точке уже посчитано.

⇒ f(x) наиб. = 3,6;     f(x) наим. = 3

#SPJ1