Question

Дано три точки А(1,1,1),В(2,2,1), і С(2,1,2).Знайти кут α=<ВАС

Answer 1

Ответ:

α =60°.

Пошаговое объяснение:

Даны три точки А(1; 1; 1) , В (2; 2; 1) и С ( 2; 1; 2) . Найти угол α=∠ВАС

Пусть на рисунке дан пространственный треугольник.

Угол α - это угол между векторами $\vec {AB}$ и $\vec {AC}$.

Найдем координаты данных векторов. Для этого от координат конца вычтем соответствующую координату начала вектора.

$\vec {AB} (1; 1;0) ;\\\\\vec {AC}(1;0;1)$

Найдем длины векторов, как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора

$|\vec {AB} |=\sqrt{1^{2} +1^{2} +0^{2} } =\sqrt{1+1+0} =\sqrt{2} ;\\|\vec {AC} |=\sqrt{1^{2} +0^{2} +1^{2} } =\sqrt{1+0+1} =\sqrt{2} .$

Найдем скалярное произведение этих векторов, как сумму произведений одноименных координат.

$\vec {AB}\cdot\vec {AC }=1\cdot 1+1\cdot 0+0\cdot1 =1+0+0=1$

Скалярное произведение векторов можно найти как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

$\vec {AB}\cdot\vec {AC }=|\vec {AB}|\cdot|\vec {AC}|\cdot cos \alpha ;\\\\cos \alpha =\dfrac{\vec {AB}\cdot\vec {AC }}{|\vec {AB}|\cdot|\vec {AC}|} ;\\\\cos \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} } =\dfrac{1}{2} .$

Тогда угол α =60°.

#SPJ1