‼️ТЕРМІНОВО ‼️ ДАЮ 50 БАЛІВ‼️
Пряма в точці А дотикається до кола із центром О. На дотичній по різні боки від точки А відкладено рівні відрізки АМ і АN. Доведіть, що ОМ=ON.
Ответы
Ответ:
Для доказательства, что OM = ON, мы можем использовать свойства касательных и равенство длин отрезков.
По свойству касательной, линия, проходящая через точку касания и центр окружности, перпендикулярна касательной. Это означает, что линия ОА является перпендикуляром к АМ и АN.
Также из условия задачи известно, что отрезки АМ и АN равны.
Теперь рассмотрим треугольники ОАМ и ОАN. У них общая гипотенуза ОА и равные катеты АМ и АN.
По теореме о равенстве гипотенуз и катетов прямоугольного треугольника, получаем, что треугольники ОАМ и ОАN равнобедренные.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины к основанию, является медианой, биссектрисой и высотой одновременно. Поэтому линии ОМ и ОN являются медианами в треугольниках ОАМ и ОАN соответственно.
Медианы в треугольнике делятся пополам относительно вершины и основания. Таким образом, мы получаем, что ОМ = ОN.
Таким образом, мы доказали, что ОМ = ОN на основе свойств касательной, равенства отрезков АМ и АN и свойств равнобедренных треугольников
За властивістю дотичній, лінія, що проходить через точку дотику і центр кола, перпендикулярна дотичній. Це означає, що лінія ОА є перпендикуляром до АМ і АN.
Також з умови завдання відомо, що відрізки ам і АN рівні.
Тепер розглянемо трикутники ОАМ і ОАN. У них загальна гіпотенуза ОА і рівні катети АМ і АN.
За теоремою про рівність гіпотенуз і катетів прямокутного трикутника,
У рівнобедреному трикутнику висота, проведена від вершини до основи, є медіаною, бісектрисою та висотою одночасно. Тому лінії ОМ і ОN є медіанами в трикутниках ОАМ і ОАN відповідно.
Медіани в трикутнику діляться навпіл щодо вершини та основи. Таким чином, ми отримуємо, що ОМ = ОN.
Таким чином, ми довели, що ОМ = ОN на основі властивостей дотичної, рівності відрізків АМ і АN і властивостей рівнобедрених трикутників