Question

Через точки М1(2, 1) и М2(5, 3) проведена прямая. Найти основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.

Answer 1

Составим уравнение прямой М₁М₂.

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1;\ y_1)$ и $(x_2;\ y_2)$ имеет вид:

$\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}= \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}$

Для точек $M_1(2;\ 1)$ и $M_2(5;\ 3)$ получим:

$\dfrac{y-1}{3-1}= \dfrac{x-2}{5-2}$

$\dfrac{y-1}{2}= \dfrac{x-2}{3}$

$3(y-1)= 2(x-2)$

$3y-3= 2x-4$

$3y= 2x-1$

$y= \dfrac{2}{3} x-\dfrac{1}{3}$

Составим уравнение перпендикулярной прямой к М₁М₂. Сначала определим угловой коэффициент этой прямой.

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой определяется соотношением:

$k_\perp=-\dfrac{1}{k}$

Так как угловой коэффициент прямой М₁М₂ равен 2/3, то угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен:

$k_\perp=-\dfrac{3}{2}$

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку $(x_0;\ y_0)$ с заданным угловым коэффициентом $k$ имеет вид:

$y-y_0=k(x-x_0)$

Зная угловой коэффициент перпендикулярной прямой и зная, что она проходит через начало координат, то есть через точку (0; 0), составим ее уравнение:

$y-0=-\dfrac{3}{2} (x-0)$

$y=-\dfrac{3}{2} x$

Теперь определим точку пересечения прямой М₁М₂ и найденной перпендикулярной прямой. Найденная точка и будет искомым основанием перпендикуляра.

Итак, ищем точку пересечения прямых $y= \dfrac{2}{3} x-\dfrac{1}{3}$ и $y=-\dfrac{3}{2} x$. Приравняем правые части уравнений:

$\dfrac{2}{3} x-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{3}{2} x$

Умножим обе части уравнения на 6:

$4x-2=-9x$

$13x=2$

$x=\dfrac{2}{13}$

$\Rightarrow y=-\dfrac{3}{2} \cdot\dfrac{2}{13}= -\dfrac{3}{13}$

Таким образом, основание перпендикуляра имеет координаты $\left(\dfrac{2}{13} ;\ -\dfrac{3}{13} \right)$.

Ответ: (2/13; -3/13)