Question

8 і 10 завдання
Обчтсліть фігуру площу фігури, обмеженої лініями

Answer 1

Ответ:

6. Неопределенный интеграл:

$\boldsymbol{\boxed{ \int {\frac{4}{2x - 3} } \, dx = 2 \ln|x - 1,5|+ C}}$

7. Определенный интеграл:

$\boldsymbol{\boxed{\int\limits_{-3}^{2} {(x - 4)^{2}} \, dx = \dfrac{335}{3}}}$

8. Площадь фигуры ограниченная линиями:

$\boldsymbol{\boxed{S = 4,5}}$ квадратных единиц

9. Приблизительно равно:

$\boldsymbol{\boxed{\sqrt[4]{17} \approx 2,03125}}$

10. Решение дифференциального уравнения:

$\boldsymbol{\boxed{ C = \frac{1}{y} + \dfrac{1}{x} + \ln| y| - \ln|x|}}$

$\boldsymbol{\boxed{x = 0}}$

$\boldsymbol{\boxed{y = 0}}$

Пошаговое объяснение:

6.

$\displaystyle \int {\frac{4}{2x - 3} } \, dx = \frac{4}{2} \int {\frac{1}{(x - 1,5)} } \, dx = 2\int {\frac{1}{(x - 1,5)} } \, d(x - 1,5) = 2 \ln|x - 1,5|+ C$

7.

$\displaystyle \int\limits_{-3}^{2} {(x - 4)^{2}} \, dx =\int\limits_{-3}^{2} {(x - 4)^{2}} \, d(x - 4) = \dfrac{(x - 4)^{3}}{3} \bigg |^{2}_{-3} = \frac{1}{3} \cdot (x - 4)^{3} \bigg |^{2}_{-3}=$

$= \dfrac{1}{3} \bigg ( (2 - 4)^{3} - (-3 - 4)^{3} \bigg) =\dfrac{1}{3} \bigg ( (-2)^{3} - (-7)^{3}) \bigg) = \dfrac{1}{3} \bigg (7^{3} - 2^{3} \bigg) =$

$= \dfrac{343-8}{3} = \dfrac{335}{3}$

8.

Линии ограничивающие фигуру:

$y = x^{2} - 6x + 9 = (x - 3)^{2}$

$y = -x + 5$

Точки пересечения:

$x^{2} - 6x + 9 = -x + 5$

$x^{2} -5x + 4 = 0$

$D = 25 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 = 3^{2}$

$x_{1} = \dfrac{5 + 3}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$

$x_{2} = \dfrac{5 - 3}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$

$y = -x + 5$

$y_{1} =-4+ 5 = 1$

$y_{2} =-1 + 5 = 4$

Таким образом графики пересекаются в точках $(4;1)$ и $(1;4)$. Таким образом интегрирования происходит от 1 до 4.

Согласно геометрическому смыслу определенного интеграла:

$\displaystyle S = \int\limits^{4}_{1} {(-x + 5 - ( (x - 3)^{2}))} \, dx = \int\limits^{4}_{1} {-x} \, dx + \int\limits^{4}_{1} {5} \, dx - \int\limits^{4}_{1} {(x - 3)^{2}} \, dx =$

$\displaystyle = - \int\limits^{4}_{1} {x} \, dx + 5\int\limits^{4}_{1} {} \, dx - \int\limits^{4}_{1} {(x - 3)^{2}} \, d(x - 3) =$

$= -\dfrac{1}{2} \cdot x^{2} \bigg |^{4}_{1} + 5\cdot x\bigg |^{4}_{1} -\dfrac{1}{3} \cdot (x - 3)^{3} \bigg |^{4}_{1} =$

$\displaystyle = -\frac{1}{2} (4^{2} - 1^{2}) + 5( 4 - 1) - \frac{1}{3} \bigg((4 -3)^{3} - (1 - 3)^{3} \bigg) =$

$\displaystyle = -\frac{1}{2} (16 - 1) + 5\cdot 3 - \frac{1}{3} \bigg((1)^{3} - (-2)^{3} \bigg) =$

$\displaystyle = -\frac{15}{2} + 15 - \frac{1}{3} \bigg(1 + 8 \bigg) = -7,5 + 15 - \frac{9}{3} = 7,5 - 3 =4,5$ кв.ед.

9.

Сделаем приближенные вычисления с помощью дифференциала:

$f(x_{0} + \Delta x) \approx f(x_{0}) +d [ f(x_{0}) ]$

Так необходимо вычислить приблизительно $\sqrt[4]{17}$, то выбираем функция $f(x) = \sqrt[4]{x}$. Так как $\sqrt[4]{16} = 2$, то 17 можно записать следующим образом: $16 + 1 = 17$, где $x_{0} = 16$ и $\Delta x = 1$.

Таким образом $f(x_{0}) = 2$.

Дифференциал в точке:

$d [ f(x_{0}) ] = f'(x_{0}) \Delta x$

$f'(x) = (\sqrt[4]{x} )' = \Bigg ( \bigg x^{\frac{1}{4} } \Bigg)'= \dfrac{1}{4} \bigg x^{\dfrac{1}{4} \bigg - \bigg 1 } = \dfrac{1}{4} \bigg x^{\dfrac{1}{4} \bigg - \dfrac{4}{4} } = \dfrac{1}{4} \bigg x^{ - \dfrac{3}{4} } = \dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^{3}} }$

$f'(16) = \dfrac{1}{4\sqrt[4]{16^{3}} } = \dfrac{1}{4 \cdot 8} = \dfrac{1}{32} = 0,03125$

$f(16 + 1) \approx f(16) +d [ f(16) ] = 2 + 0,03125 \cdot 1 = 2,03125$

10.

$(y^{2} + xy^{2})dx + (x^{2} - yx^{2} )dy =0$

$(x^{2} - yx^{2} ) \ dy = -(y^{2} + xy^{2})\ dx$

$x^{2}(1 - y ) \ dy = -y^{2}( 1 + x)\ dx$

$\displaystyle \frac{1 - y}{y^{2}} \ dy = -\frac{x + 1}{x^{2} } \ dx ; x,y \neq 0$

--------------------------------------------------

$x = 0:$

$0 + (0^{2} - y \cdot 0^{2} )dy =0$

$0 = 0$, то есть x = 0 - решение дифференциального уравнения

$y = 0:$

$(0^{2} + x\cdot 0^{2})dx + 0 =0$

$0 = 0$, то есть y = 0 - решение дифференциального уравнения

--------------------------------------------------

$\displaystyle \bigg( \frac{1}{y^{2}} - \frac{ y}{y^{2}} \bigg) \ dy = - \bigg(\frac{x }{x^{2} } + \frac{1}{x^{2} } \bigg) \ dx$

$\displaystyle \int \bigg( \frac{1}{y^{2}} - \frac{ 1}{y} \bigg) \ dy = \int \bigg(-\frac{1 }{x } - \frac{1}{x^{2} } \bigg) \ dx \ \Bigg | \cdot (-1)$

$\displaystyle \frac{1}{y} + \ln| y| = \ln|x| - \dfrac{1}{x} + C$

$\displaystyle C = \frac{1}{y} + \dfrac{1}{x} + \ln| y| - \ln|x|$