Question

Геометрия , очень срочно, помогите, дам лучший ответ ​

Answer 1

Ответ:

$\arcsin \frac{1}{6}$

Объяснение:

Так как векторы $\overrightarrow {AB}$  и $\overrightarrow {AC}$  лежат в этой плоскости, то вектор, равный их векторному произведению перпендикулярен этой плоскости и может служить вектором нормали.

Если точки $M({x_1};\,\,{y_1};\,\,{z_1})$ и $N({x_2};\,\,{y_2};\,\,{z_2})$ — начало и конец вектора, то $\overrightarrow {MN} ({x_2} - {x_1};\,\,{y_2} - {y_1};\,\,{z_2} - {z_1}).$

Значит

$\overrightarrow {AB} ( - 1 - 1;\,\,1 - 0;\,\,0 - 3);\\\\\overrightarrow {AB} ( - 2;\,\,1;\,\, - 3);\\[2em]\overrightarrow {AC} ( - 2 - 1;\,\,4 - 0;\,\,1 - 3);\\\\\overrightarrow {AC} ( - 3;\,\,4;\,\, - 2).$

Тогда $\overrightarrow n = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow i }&{\overrightarrow j }&{\overrightarrow k }\\{ - 2}&1&{ - 3}\\{ - 3}&4&{ - 2}\end{array}} \right| = 10\overrightarrow i + 5\overrightarrow j - 5\overrightarrow k ,\\\\\overrightarrow n (10;\,\,5;\,\, - 5).$

Через скалярное произведение найдем косинус угла между вектором нормали и вектором $\overrightarrow a .$

$\cos \gamma = \displaystyle\frac{{\overrightarrow n \cdot \overrightarrow a }}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \overrightarrow {\left| a \right|} }} = \displaystyle\frac{{10 \cdot 1 + 5 \cdot ( - 2) - 5 \cdot 1}}{{\sqrt {{{10}^2} + {5^2} + {{( - 5)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = \\\\=\displaystyle\frac{{ - 5}}{{\sqrt {150} \cdot \sqrt 6 }} = - \displaystyle\frac{5}{{30}} = - \displaystyle\frac{1}{6},$

тогда $\gamma = \arccos \left( { - \displaystyle\frac{1}{6}} \right) = \pi - \arccos \displaystyle\frac{1}{6}.$

Так как угол между плоскостью и ее нормалью прямой, то найденный угол отличается от искомого на $\displaystyle\frac{\pi }{2}.$

$\pi - \arccos \displaystyle\frac{1}{6} - \displaystyle\frac{\pi }{2} = \displaystyle\frac{\pi }{2} - \arccos \displaystyle\frac{1}{6}.$

По формуле $\arcsin \alpha + \arccos \alpha = \displaystyle\frac{\pi }{2}$ находим, что $\displaystyle\frac{\pi }{2} - \arccos \displaystyle\frac{1}{6} = \arcsin \displaystyle\frac{1}{6}.$