Question

Помогите пожалуйста решить задачу ​

Answer 1

Ответ:

Ответ: х ∈ (0; 1) ∪ [log₂(1 + ∛3); 2 + log₂7]

Объяснение:

Решить неравенство:

$\displaystyle \bf log_3(2^x-1)+log_{(2^x-1)}3\leq \frac{10}{3}$

ОДЗ:

$\displaystyle \bf \left \{ {{2^x-1 > 0} \atop {2^x-1\neq1 }} \right. \;\;\;\;\;\left \{ {{2^x > 1} \atop {2^x\neq 2}} \right. \;\;\;\;\;\left \{ {{x > 0} \atop {x\neq 1}} \right.$

x ∈ (0; 1) ∪ (1; +∞)

Переход к новому основанию:

$\displaystyle \bf \boxed { log_ab=\frac{log_cb}{log_ca} }$

Воспользуемся этой формулой для второго логарифма:

$\displaystyle \bf log_3(2^x-1)+\frac{log_33}{log_3(2^x-1)} \leq \frac{10}{3}\\\\\frac{3\;log^2_3(2^x-1)+3-10\;log_3(2^x-1)}{3\;log_3(2^x-1)}\leq 0$

Выполним замену переменной:

$\displaystyle \bf log_3(2^x-1)=t\\\\\frac{3t^2-10t+3}{3t} \leq 0$

D = 100 - 4 · 3 · 3 = 64

√D = 8

$\displaystyle \bf t_1=\frac{10+8}{6}=3;\;\;\;\;\;t_2=\frac{10-8}{6}=\frac{1}{3}$

$\displaystyle \bf \frac{3(t-\frac{1}{3})(t-3) }{3t} \leq 0$

Найдем знаки на промежутках:

$\displaystyle \bf ---(0)+++\left[\frac{1}{3}\right ]---[3]+++$

⇒  t < 0;  1/3 ≤ t ≤ 3 ⇒ t ∈ (-∞; 0) ∪ [1/3; 3]

Выполним обратную замену:

1)

$\displaystyle \bf log_3(2^x-1) < 0\\\\2^x-1 < 3^0\\\\2^x < 2\\\\x < 1$

2)

$\displaystyle \bf \frac{1}{3}\leq log_3(2^x-1)\leq 3\\\\log_33^{\frac{1}{3} }\leq log_3(2^x-1)\leq log_33^3\\\\\sqrt[3]{3}\leq 2^x-1\leq 27\;\;\;|+1\\ \\\sqrt[3]{3}+1\leq 2^x\leq 28$

Так как 2 > 1, получим:

$\displaystyle \bf log_2(1+\sqrt[3]{3})\leq x\leq log_228\\ \\log_2(1+\sqrt[3]{3} )\leq x\leq log_2(4\cdot7)$

Логарифм произведения:

$\displaystyle \bf \boxed { log_a{b}{c}=log_ab+log_ac }$

$\displaystyle \bf log_2(1+\sqrt[3]{3} )\leq x\leq log_24+log_27\\\\ log_2(1+\sqrt[3]{3} )\leq x\leq 2+log_27$

Отметим решения на числовой оси, включая ОДЗ.

См. рис.

Ответ: х ∈ (0; 1) ∪ [log₂(1 + ∛3); 2 + log₂7]

Answer 2

Решение.

$\bf log_3(2^{x}-1)+log_{(2^{x}-1)}3\leq \dfrac{10}{3}$  

ОДЗ:  $\left\{\begin{array}{l}\bf 2^{x}-1 > 0\\\bf 2^{x}-1\ne 1\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf 2^{x} > 1\\\bf 2^{x}\ne 2\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf x > 0\\\bf x\ne 1\end{array}\right$      

Применяем формулу   $\bf log_{a}b=\dfrac{1}{log_{b}a}\ \ ,\ \ \ \ a > 0\ ,\ a\ne 1\ ,\ b > 0\ ,\ b\ne 1$  .

$\bf log_3(2^{x}-1)+\dfrac{1}{log_3(2^{x}-1)}-\dfrac{10}{3}\leq 0$  

Замена:

  $\bf t=log_3(2^{x}-1)\ \ ,\ \ \ t+\dfrac{1}{t}-\dfrac{10}{3}\leq 0\ \ ,\ \ \ \dfrac{3t^2-10t+3}{3t}\leq 0\ ,\\\\3t^2-10t+3=0\ \ ,\ \ \dfrac{D}{4}=5^2-3\cdot 3=16\ \ ,\\\\t_1=\dfrac{5-4}{3}=\dfrac{1}{3}\ \ ,\ \ t_2=\dfrac{5+4}{3}=3\\\\\dfrac{3\Big(t-\dfrac{1}{3}\Big)\Big(t-3\Big)}{3t}\leq 0\ \ \Rightarrow \\\\\\---(0)+++[1/3]---[3]+++\ \ ,\ \ t\in (-\infty ;0)\cup \Big[\ \dfrac{1}{3}\ ;\ 3\ \Big]\ \ \Rightarrow \\\\\\log_3(2^{x}-1)\in (-\infty ;0\ )\cup \Big[\ \dfrac{1}{3}\ ;\ 3\ \Big]\ \ \ \ (*)$

Решим три неравенства на основании  $(*)$.

$\bf 1)\ \ log_3(2^{x}-1)\geq \dfrac{1}{3}\ \ ,\ \ \ log_3(2^{x}-1)\geq log_33^{\frac{1}{3}}\ \ ,$  

Логарифмическая функция с основанием 3>1 возрастающая  ⇒  

$\bf 2^{x}-1\geq 3^{\frac{1}{3}}\ \ ,\ \ \ 2^{x}\geq 1+\sqrt[3]{3}\ \ ,\ \ 2^{x}\geq 2^{log_2(1+\sqrt[3]{3})}\ \ ,\\\\x\geq log_2(1+\sqrt[3]3)\ \ ,\ \ \ \ log_2(1+\sqrt[3]3)\approx 1,25$

$\bf 2)\ \ log_3(2^{x}-1)\leq 3\ \ ,\ \ \ log_3(2^{x}-1)\leq log_33^{3}\ \ ,$

$\bf 2^{x}-1\leq 3^3\ \ ,\ \ \ 2^{x}\leq 1+27\ \ ,\ \ 2^{x}\leq 2^{log_2\, 28}\ \ ,\\\\x\leq log_2\, 28\ \ ,\ \ \ \ log_2\, 28\approx 4,81$      

3)  Берём пересечение множеств из 1 и 2 пункта, получим

 $\boldsymbol{x\in [\ log_2(1+\sqrt[3]3)\ ;\ log_2\, 28\ ]}$  

$\bf 4)\ \ log_3(2^{x}-1) < 0\ \ ,\ \ \ log_3(2^{x}-1) < log_31\ \ \to \ \ 2^{x}-1 < 1\ ,\\\\2^{x} < 2\ \ ,\ \ x < 1$

4)  Теперь объединим решения неравенства 3 и 4 пунктов .

$\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{x\in [\ log_2(1+\sqrt[3]3)\ ;\ log_2\, 28\ ]}\\\boldsymbol{x < 1}\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow\\\\\\\boldsymbol{x\in (-\infty ;1\, )\cup (\ log_2(1+\sqrt[3]3)\ ;\, log_2\, 28\ ]}$  

5)  Теперь последнее множество пересечём с ОДЗ , получим      

$\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{x\in (-\infty ;1\, )\cup (\ log_2(1+\sqrt[3]3)\ ;\, log_2\, 28\ ]}\\\boldsymbol{x\in (\, 0\, ;\, 1\, )\cup (\ 1\ ;+\infty )}\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow\\\\\\\boldsymbol{x\in (\, 0\, ;\, 1\, )\cup [\ log_2(1+\sqrt[3]3\ ;log_2\, 28\ ]}$