Question

Найдите все тройки вещественных положительных чисел х, у и z для которых одновременно выполняются равенства x+y+z= 6 и 1/x+1/y+1/z=2-4/xyz​

Answer 1

Ответ:

(2, 2, 2)

Пошаговое объяснение:

По условию числа положительны, значит, к данным равенствам применимы неравенства о средних, в частности: среднее арифметическое ≥ среднее геометрическое, среднее арифметическое ≥ среднее гармоническое. В формулах это будет выглядеть следующим образом:

$\dfrac{x+y+z}{3}\geq \sqrt[3]{xyz}\ (1)\\\dfrac{x+y+z}{3}\geq \dfrac{3}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}\ (2)$

Рассмотрим неравенство (1). Сумма известна и равна 6, тогда:

$\dfrac{6}{3}\geq \sqrt[3]{xyz}\\ 2\geq \sqrt[3]{xyz}\\2^3\geq (\sqrt[3]{xyz})^3\\xyz\leq 8$

Используем полученное неравенство для оценки правой части второго равенства:

$xyz\leq 8\\\dfrac{1}{xyz}\geq \dfrac{1}{8}\\-\dfrac{4}{xyz}\leq -\dfrac{1}{2}\\2-\dfrac{4}{xyz}\leq \dfrac{3}{2}$

Рассмотрим неравенство (2):

$\dfrac{6}{3}\geq \dfrac{3}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}\\\dfrac{2}{3}\geq \dfrac{1}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\geq \dfrac{3}{2}$

Получается, что левая часть второго равенства не меньше $\dfrac{3}{2}$, а правая — не больше $\dfrac{3}{2}$. Значит, чтобы равенство выполнялось, обе части должны быть равны $\dfrac{3}{2}$. Но это значит, что все неравенства обращаются в равенства. Это возможно только тогда, когда x = y = z. Из первого равенства получаем, что x + y + z = x + x + x = 3x = 6, тогда x = y = z = 2.