Question

Даю 100 баллов. Решить уравнения:

$1) (x^2-5x-23)^2-2x^2-10x+47=0\\2) (x^2-2x)^2-(x-1)^2=55$

Answer 1

Ответ:

1)  x₁ = 8  ,  x₂ = -3

2) x₁ = 4  ,  x₂ = -2

Пошаговое объяснение:

Решите уравнения :

1)  ( x² - 5x - 23 )² - 2x² +* 10x + 47 = 0

2)  ( x² - 2x )² - ( x - 1 )² = 55

1.

Если  решать графически   уравнение   ( x² - 5x - 23 )² - 2x² - 10x + 47 = 0  , то  по графику видно что нет пересечений с осью Ox , а значит действительных корней нет  

Поэтому я  считаю , что  условие скорее всего должно  было быть  таким :

$(x^2 -5x -23)^2 -2x^2\boldsymbol{ \pmb{+}}10x +47 =0 \\\\ (x^2 -5x -23)^2 - 2x ^2 +10x +46 +1 =0 \\\\ (x^2 -5x-23)^2 - 2(x^2 -5x -23) +1 =0$

Сделаем замену

$t = x^2 -5x -23 \\\\ t^2 = (x^2 -5x-23)^2$

Тогда

$t^2 -2t +1 =0$

Выходит полный квадрат

$(t-1)^2 =0 \\\\ t =1$

Вернемся к старой переменной

$x^2 -5x -23 = 1 \\\\x^2 -5x -24 =0 \\\\ \displaystyle \left \{ {{x_1 + x_2 = 5} \atop {x_1x_2 =-24}} \right. \Leftrightarrow~ x_1 = 8 ~~ , ~~ x _2 = -3$

2.

$(x^2 -2x )^2 - (x-1)^2=55 \\\\ (x (x-2))^2 - (x-1)^2 = 55$

Сделаем замену

$t = x-1 \\\\ t -1 = x-2 \\\\ t + 1 = x$

$\Big ( ( t -1)(t+1) \Big ) ^2 - t^2 = 55 \\\\ (t ^2-1)^2 -t^2 = 55 \\\\ t^4 - 2t^2 +1 -t^2 -55 =0 \\\\ t^4 -3t^2 -54 =0$

Выходит  биквадратное уравнение

$u = t^2 ~~ , ~~ u^2 = t^4 ~ , ~ u > 0 \\\\ u^2-3u -54 = 0 \\\\ \displaystyle \left \{ {{u_1 +u_2=3} \atop {u_1 u_2 = -54}} \right. \Leftrightarrow u_1 = 9 ~\checkmark ~~ , ~~ u_2 = - 6 ~~ \varnothing$

Тогда

$t^2 = 9 \\\\ t _{1,2} = \pm 3$

Вернемся к старой переменой  t = x-1

$\hspace{-1,4em }1. ~~ x- 1 = 3 \\\\ x_1= 4$

$\hspace{-1,4em }2. ~~ x- 1 = -3 \\\\ x_2= -2$