Question

Сумма первых четырех чисел геометрической прогрессии равна сумме следующих четырех членов этой прогрессии, умноженной на 16. Найдите знаменатель прогрессии, если известно, что она является монотонной.

Answer 1

Сумма первых n членов геометрической прогрессии:

$S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}$

Запишем сумму первых 4 членов геометрической прогрессии:

$S_4=\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}$

Запишем сумму следующих 4 членов геометрической прогрессии как разность между суммами первых 8 и первых 4 членов геометрической прогрессии:

$S_{5-8}=S_8-S_4=\dfrac{b_1(q^8-1)}{q-1}-\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}$

По условию, первая величина в 16 раз больше второй. Получаем уравнение:

$\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}=16\left(\dfrac{b_1(q^8-1)}{q-1}-\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}\right)$

$\dfrac{16b_1(q^8-1-(q^4-1))}{q-1}=\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}$

$\dfrac{16b_1(q^8-1-q^4+1)}{q-1}=\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}$

$\dfrac{16b_1(q^8-q^4)}{q-1}=\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}$

$\dfrac{16b_1q^4(q^4-1)}{q-1}=\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}$

По условию прогрессия монотонная. Тогда, в частности $b_1\neq 0$ и $q\neq \pm 1$.

Обе части сокращаем на $\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}\neq 0$:

$16q^4=1$

$q^4=\dfrac{1}{16}$

$q=\pm\dfrac{1}{2}$

Учитывая, что прогрессия монотонная, отрицательный знаменатель исключаем.

Тогда:

$q=\dfrac{1}{2}$

Ответ: 1/2