Question

Дано точки A(-1; 1; -1), B(1; -1; 1), O(0; 0; 0).
а) Чи правильно, що точка О — середина відрізка АВ?
б) Знайдіть довжину відрізка АВ.
в) Запишіть координати точки В1, яка симетрична точці В відносно площини ху.

Answer 1

Ответ:

а) Верно (правильно);

б) $|AB| = 2 \sqrt{3}$

в) $B{1} =B1( 1;- 1; -1)$

Пошаговое объяснение:

А = А(-1; 1; -1), т.е. Аx=-1; Ay = 1; Az =-1

В = В(1; -1; 1) т.е. Bx=1; By = -1; Bz =1

О = О(0; 0; 0) т.е. Ox=0; Oy = 0; Oz =0

а)

Если т. О - середина АВ, то тогда

$O_x = \frac{A_x+B_x}{2}; \\ O_y= \frac{A_y +B_y}{2};\\ O_z = \frac{A_z+B_z}{2};$

Проверка

$\frac{A_x+B_x}{2} = \frac{ - 1 + 1}{2} = 0 = O_x ; \\ \frac{A_y +B_y}{2}= \frac{ 1 - 1}{2} = 0 = O_y;\\ \frac{A_z+B_z}{2}= \frac{ - 1 + 1}{2} = 0 = O_z;$

Следовательно, О(0;0;0) - середина АВ.

б)

$\small |AB| {=}\sqrt{(B_x{-}A_x)^2{+}(B_y{-}A_y)^2{+}(B_z{-}A_z)^2} = \\ \small |AB|{=}\sqrt{( - 1 - 1)^{2} + (1 - ( - 1))^{2} + ( - 1 - 1)^{2} } = \\ = \small \sqrt{( - 2) ^{2} + {2}^{2} + {( - 2)}^{2} } = \sqrt{4 + 4 + 4} = \\ = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot3} = 2 \sqrt{3}$

в)

$B1=B1(B{1_x}; B{1_y}; B{1_z})$

Т.к. В1 симметрична относительно плоскости ху => проекции точки В и точки В1 на эту плоскость совпадают, а значит и координаты по осям Ох и Оу тоже совпадают. Т.е.

$B{1_x} =B{_x} ; \: \: B{1_y} =B{_y}$

А так как плоскость ху характеризуется значением z=0, то значение координаты z точки В1 противоположно (взято с обратным знаком) таковой для точки В:

$B{1_z} = - B{_z}$

Считаем:

$B{1_x} =B{_x} = 1; \quad \\B{1_y} =B{_y} = -1;\;\;\\B{1_z} {=} - B{_z} = -1$

И значит координаты точки В1 будут

$B{1} =B1( 1; -1; -1)$