Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

а) $\boxed{ \boldsymbol{ \Delta = -31 } }$

б) $\boxed{ \boldsymbol{ \Delta = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1} }$

Примечание:

Теорема о разложении или теорема Лапласа:

Значение определителя матрицы равно сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Минором элемента $a_{ij}$ определителя порядка $n$ называется определитель порядка $(n - 1)$, полученного из данного вычеркиванием $i$-й строки и $j$-го столбца и обозначается в виде $M_{ij}$.

Алгебраическим дополнением элемента $a_{ij}$ называют число:

$A_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot M_{ij}$

Определитель матрицы не меняется при элементарном преобразовании матрицы.

$r_{n}$ - строка с номером n

$c_{n}$ - столбец с номером n

Объяснение:

22.

а)

$\begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 4 \\ 2 & -3 & 5 \end{vmatrix} c_{2} + 2c_{1} = \begin{vmatrix} -1 & 2 + 2 \cdot (-1) & 0 \\ 3 & 1 + 2 \cdot 3& 4 \\ 2 & -3+ 2 \cdot2 & 5 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 3 & 7& 4 \\ 2 & 1 & 5 \end{vmatrix}=$

$= a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} \cdot A_{13} = -1 \cdot A_{11} + 0 \cdot A_{12} + 0 \cdot A_{13} = -1 \cdot A_{11} =$

$= -1 \cdot (-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} 7 & 4 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = - (7 \cdot 5 - 1 \cdot 4) = -(35 - 4) =-31$

б)

$\begin{vmatrix} a^{2} + 1 & ab & ac \\ ab & b^{2} + 1 & bc \\ ac & bc & c^{2} + 1 \end{vmatrix} = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} \cdot A_{13} =$

$= (a^{2} + 1) \cdot (-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} b^{2} + 1 & bc \\ bc & c^{2} + 1 \end{vmatrix} + ab \cdot (-1)^{1 + 2} \begin{vmatrix} ab & bc \\ ac & c^{2} + 1 \end{vmatrix} +$

$+ac \cdot (-1)^{1 + 3} \begin{vmatrix} ab & b^{2} + 1 \\ ac & bc \end{vmatrix} = (a^{2} + 1)\begin{vmatrix} b^{2} + 1 & bc \\ bc & c^{2} + 1 \end{vmatrix} - ab\begin{vmatrix} ab & bc \\ ac & c^{2} + 1 \end{vmatrix} + ac\begin{vmatrix} ab & b^{2} + 1 \\ ac & bc \end{vmatrix}=$

1)

$(a^{2} + 1)\begin{vmatrix} b^{2} + 1 & bc \\ bc & c^{2} + 1 \end{vmatrix} = (a^{2} + 1)((b^{2} + 1)(c^{2} + 1) - b^{2}c^{2}) =$

$= (a^{2} + 1)(b^{2}c^{2} + b^{2} + c^{2} + 1 - b^{2}c^{2}) = (a^{2} + 1)(b^{2} + c^{2} + 1) =$

$= (a^{2} + 1)(b^{2} + c^{2} + 1) = a^{2}b^{2} + a^{2}c^{2} + a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1$

2)

$ab\begin{vmatrix} ab & bc \\ ac & c^{2} + 1 \end{vmatrix} = ab(ab(c^{2} + 1) - abc^{2}) =ab(abc^{2} + ab - abc^{2}) = a^{2}b^{2}$

3)

$ac\begin{vmatrix} ab & b^{2} + 1 \\ ac & bc \end{vmatrix}= ac(ab^{2}c - ac(b^{2} + 1)) = ac(ab^{2}c - ab^{2}c - ac) = -a^{2}c^{2}$

$= (a^{2} + 1)\begin{vmatrix} b^{2} + 1 & bc \\ bc & c^{2} + 1 \end{vmatrix} - ab\begin{vmatrix} ab & bc \\ ac & c^{2} + 1 \end{vmatrix} + ac\begin{vmatrix} ab & b^{2} + 1 \\ ac & bc \end{vmatrix}=$

$= a^{2}b^{2} + a^{2}c^{2} + a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1 - a^{2}b^{2} - a^{2}c^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1$