Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

а) $\boxed{ \boldsymbol{ \Delta = 150 } }$

б) $\boxed{ \boldsymbol{ \Delta = 38 } }$

Примечание:

Теорема о разложении или теорема Лапласа:

Значение определителя матрицы равно сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Минором элемента $a_{ij}$ определителя порядка $n$ называется определитель порядка $(n - 1)$, полученного из данного вычеркиванием $i$-й строки и $j$-го столбца и обозначается в виде $M_{ij}$.

Алгебраическим дополнением элемента $a_{ij}$ называют число:

$A_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot M_{ij}$

Определитель матрицы не меняется при элементарном преобразовании матрицы.

$r_{n}$ - строка с номером n

$c_{n}$ - столбец с номером n

Объяснение:

а)

$\begin{vmatrix} 7 & 3 & 2 & 6 \\ 8 & -9 & 4 & 9 \\ 7 & -2 & 7 & 3 \\ 5 & -3 & 3 & 4 \end{vmatrix}c_{4} + c_{2} = \begin{vmatrix} 7 & 3 & 2 & 6 + 3 \\ 8 & -9 & 4 & 9 + (-9) \\ 7 & -2 & 7 & 3 + (-2) \\ 5 & -3 & 3 & 4 + (-3) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 7 & 3 & 2 & 9 \\ 8 & -9 & 4 & 0 \\ 7 & -2 & 7 & 1 \\ 5 & -3 & 3 & 1\end{vmatrix}r_{1} - 9r_{4} =$

$= \begin{vmatrix} 7- 9 \cdot5 & 3- 9 \cdot(-3) & 2- 9 \cdot3 & 9 - 9 \cdot 1 \\ 8 & -9 & 4 & 0 \\ 7 & -2 & 7 & 1 \\ 5 & -3 & 3 & 1\end{vmatrix} =\begin{vmatrix} -38 & 30& -25 & 0 \\ 8 & -9 & 4 & 0 \\ 7 & -2 & 7 & 1 \\ 5 & -3 & 3 & 1\end{vmatrix}r_{3} - r_{4}=$

$= \begin{vmatrix} -38 & 30& -25 & 0 \\ 8 & -9 & 4 & 0 \\ 7 - 5 & -2 - (-3) & 7 - 3 & 1 - 1 \\ 5 & -3 & 3 & 1\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} -38 & 30& -25 & 0 \\ 8 & -9 & 4 & 0 \\ 2 &1 & 4 & 0\\ 5 & -3 & 3 & 1\end{vmatrix} =$

Так как 4 столбец содержит нули, то по нему удобно разложить матрицу, таким образом не нулевым алгебраическим дополнением будет дополнение с элементом $a_{44}$, так как $a_{44} \neq 0$.

$= 1 \cdot (-1)^{4 + 4}\begin{vmatrix} -38 & 30 & -25 \\ 8 & -9 & 4 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -38 & 30 & -25 \\ 8 & -9 & 4 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix} c_{3} - 4c_{2};c_{1} - 2c_{2} =$

$= \begin{vmatrix} -38 - 2 \cdot 30 & 30 & -25 - 4 \cdot 30 \\ 8 - 2 \cdot (-9) & -9 & 4- 4 \cdot (-9) \\ 2- 2 \cdot1 & 1 & 4- 4 \cdot1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -98 & 30 & -145 \\ 26 & -9 & 40 \\0 & 1 & 0\end{vmatrix}=$

Так как 3 строка содержит нули, то по ней удобно разложить матрицу, таким образом не нулевым алгебраическим дополнением будет дополнение с элементом $a_{32}$, так как $a_{32} \neq 0$.

$= 1 \cdot (-1)^{3 + 2} \begin{vmatrix} -98 & -145 \\ 26 & 40 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 98 & 145 \\ 26 & 40 \end{vmatrix} = 98 \cdot 40 - 26 \cdot 145 = 3920 - 3770 =150$

б)

$\begin{vmatrix} -3 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 1 & 4 \\ 4 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 & 4 \end{vmatrix}r_{3} + r_{2};r_{4} + r_{1} = \begin{vmatrix} -3 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 1 & 4 \\ 4 + 2 & 0 + (-2)& -1 + 1 & 2 + 4 \\ 3 + (-3) & 1 + 2 & -1 + 1 & 4 + 0 \end{vmatrix} =$

$= \begin{vmatrix} -3 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 1 & 4 \\ 6 & - 2 & 0& 6 \\ 0 & 3 & 0& 4 \end{vmatrix}r_{2} - r_{1} =\begin{vmatrix} -3 & 2 & 1 & 0 \\ 2 - (-3) & -2 - 2 & 1 - 1 & 4 - 0 \\ 6 & - 2 & 0& 6 \\ 0 & 3 & 0& 4 \end{vmatrix} =$

$=\begin{vmatrix} -3 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & -4 & 0 & 4 \\ 6 & - 2 & 0& 6 \\ 0 & 3 & 0& 4 \end{vmatrix} =$

Так как 3 столбец содержит нули, то по нему удобно разложить матрицу, таким образом не нулевым алгебраическим дополнением будет дополнение с элементом $a_{13}$, так как $a_{13} \neq 0$.

$= 1 \cdot (-1)^{1 + 3}\begin{vmatrix} 5 & - 4 & 4 \\ 6 & -2 & 6 \\ 0 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 5 & - 4 & 4 \\ 6 & -2 & 6 \\ 0 & 3 & 4 \end{vmatrix} c_{2} - 0,75c_{3} = \begin{vmatrix} 5 & - 4 - 0,75 \cdot 4 & 4 \\ 6 & -2- 0,75 \cdot6 & 6 \\ 0 & 3- 0,75 \cdot 4 & 4 \end{vmatrix} =$

$= \begin{vmatrix} 5 & -7 & 4 \\ 6 & -6,5 & 6 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} =$

Так как 3 строка содержит нули, то по ней удобно разложить матрицу, таким образом не нулевым алгебраическим дополнением будет дополнение с элементом $a_{33}$, так как $a_{33} \neq 0$.

$= 4 \cdot (-1)^{3 + 3} \begin{vmatrix} 5 & -7 \\ 6 & -6,5 \end{vmatrix} = -4\begin{vmatrix} 5 & 7 \\ 6 & 6,5 \end{vmatrix} =-4(5 \cdot 6,5 - 6 \cdot 7) = -4(32,5 - 42) =$

$= -4 \cdot (-9,5) = 38$.