Question

Демо задание 1-4
Номер 4

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle f(x)=\dfrac{x(x^2+3)}{(x+1)^3}=\dfrac{x^3+3x}{(x+1)^3}\ \ ,\qquad \qquad \Big(\frac{u}{v}\Big)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\\\\\\f'(x)=\frac{(x^3+3x)'(x+1)^3-(x^3+3x)((x+1)^3)'}{(x+1)^6}=\\\\\\=\frac{(3x^2+3)(x+1)^3-3(x+1)^2\, (x^3+3x)}{(x+1)^6}=\\\\\\=\frac{(3x^2+3)(x+1)-3(x^3+3x)}{(x+1)^4}=\frac{3x^3+3x^2+3x+3-3x^3-9x}{(x+1)^4}=\\\\\\=\frac{3x^2-6x+3}{(x+1)^4}=\frac{3\, (x^2-2x+1)}{(x+1)^4}$

b)  Вертикальная асимптота х=а, если  $\lim\limits _{x \to a\pm 0}\, f(x)=\infty$  .

Проверим точку а= -1 , так как при х= -1 функция не существует, знаменатель дроби обращается в ноль .

$\lim\limits _{x \to -1-0}\, f(x)=\lim\limits _{x \to -1-0}\, \dfrac{x^3+3x}{(x+1)^3}=\Big[\ \dfrac{(-1)^3-3}{(\, (-1-0)+1)^3}=\dfrac{-4}{-0}\ \Big]=+\infty$

$\lim\limits _{x \to -1+0}\, f(x)=\lim\limits _{x \to -1+0}\, \dfrac{x^3+3x}{(x+1)^3}=\Big[\ \dfrac{(-1)^3-3}{(\, (-1+0)+1)^3}=\dfrac{-4}{+0}\ \Big]=-\infty$

Вертикальная асимптота  х= -1  .

c)  Наклонная асимптота  y=kx+b .

$k=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\, \dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\, \dfrac{x^3+3x}{x\, (x+1)^3}=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\, \dfrac{x^3}{x^4}=0\\\\\\b=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\, (f(x)-kx)=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\, \Big(\dfrac{x^3+3x}{(x+1)^3}-0\cdot x\Big)=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\, \dfrac{x^3+3x}{(x+1)^3}=\\\\\\=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\, \dfrac{x^3}{x^3}=1$

Получили уравнение горизонтальной асимптоты    $y=1$  .