Question

помогите решить)
a,b>0 натуральные числа
Доказать равенство:
$log_{a} ab=1+\frac{2}{log_{b} a^{2} }$

Answer 1

$\log_{a}{ab}=\log_{a}{a}+\log_{a}{b}=1+\dfrac{1}{\log_{b}{a}}=1+\dfrac{2}{2\log_b{a}}=1+\dfrac{2}{\log_{b}{a^2}}$

Answer 2

$\displaystyle log_{a}(ab)= 1+\frac{2}{log_{b}(a^{2}) }$

Рассмотрим правую часть

$\displaystyle 1+\frac{2}{log_{b}(a^{2}) }=1+\frac{2}{2log_{b}(a) }=1+\frac{1}{log_{b}(a) }=1+log_{a}(b)=log_{a}(a)+log_{a}(b)=log_{a}(a*b)$

Для доказательства использовались следующие свойства:

$\displaystyle log_{b}(a^{n})=n*log_{b}(a)$

$\displaystyle log_{b}(a)=\frac{1}{log_{a}(b)}$

$\displaystyle log_{a}(a)=1$

$\displaystyle log_{a}(b)+log_{a}(c)=log_{a}(bc)$