Question

4.3
Система уравнений с параметром, 11 класс

Answer 1

Задача. При каких значениях параметра $a$ система

$\displaystyle \left \{ {{(a-1)x - 2ay = 2 - 4a,} \atop {ax + (a+2)y = 3 ~~~~~~~~~}} \right.$

имеет бесконечное множество решений?

Решение. Система линейных уравнений, которая имеет вид

$\displaystyle \left \{ {{a_{1}x + b_{1}y = c_{1},} \atop {a_{2}x + b_{2}y = c_{2},}} \right.$

допускает три варианта решений:

1. Имеет одно решение:

$\dfrac{a_{1}}{a_{2}} \neq \dfrac{b_{1}}{b_{2}}$

2. Не имеет решений:

$\dfrac{a_{1}}{a_{2}} = \dfrac{b_{1}}{b_{2}} \neq \dfrac{c_{1}}{c_{2}}$

3. Имеет бесконечное количество решений:

$\dfrac{a_{1}}{a_{2}} = \dfrac{b_{1}}{b_{2}} = \dfrac{c_{1}}{c_{2}}$

Таким образом, заданная система линейных уравнений будет иметь бесконечное количество решений, если:

$\dfrac{a - 1}{a} = \dfrac{-2a}{a+2} = \dfrac{2 - 4a}{3}.$

Следовательно, нужно рассмотреть три пары уравнений, из которых нужно выбрать корень (корни), который встречается у всех трех уравнений:

$1) ~ \dfrac{a - 1}{a} = \dfrac{-2a}{a+2}; ~~~ (a-1)(a+2)=-2a^{2}; ~~~ a_{1} = -1, ~ a_{2} = \dfrac{2}{3};$

$2) ~ \dfrac{-2a}{a+2} = \dfrac{2 - 4a}{3}; ~~~ {-}6a = (a+2)(2-4a); ~~~ a_{1}=-1, ~ a_{2}=1;$

$3) ~ \dfrac{a - 1}{a} = \dfrac{2 - 4a}{3}; ~~~ 3(a-1) = a(2-4a); ~~~ a_{1} = -1, ~ a_{2} = \dfrac{3}{4}.$

Значит, при $a=-1$ все три выражения равны друг другу, откуда делаем вывод, что данная система будет иметь бесконечное количество решений.

Ответ: $a = -1.$