Question

Помогите решить диф. уравнение, если задано начальные условия, найти отдельное решение, пример: $y"-3y'+2y=e^{x}$

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Cоставляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r^2 -3 r + 2 = 0

D=(-3)^2 - 4·1·2=1  

Корни характеристического уравнения:

r1 = 2

r2 = 1

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

y1 = e^(2x)

y2 = e^x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y- = C1*e^(2x) +C2*e^x,  Ci ∈ R.  

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:

R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)) имеет решение

y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx)).

Здесь P(x) = 1, Q(x) = 0, α = 1, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 1 + 0i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r2).

Уравнение имеет частное решение вида:

y· = x (Ae^x)

Вычисляем производные:

y' = A·x·e^x+A·e^x

y'' = A(x+2)·e^x

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y'' -3y' + 2y = (A(x+2)·e^x) -3(A·x·e^x+A·ex) + 2(x (Ae^x)) = e^x

или

-A·e^x = e^x

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

1: -A = 1

Решая ее, находим:

A = -1;

Частное решение имеет вид:

y·=x (-1e^x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y = y- + y. = C1*e^(2x) +C2*e^x - x *e^x.