Question

Найти оригинал f(t) за заданным изображением F(p)
$\frac{2p+7}{p^{2} -10p+50}$

Answer 1

Ответ:

$e^{5t}\left(2cos5t+\dfrac{17}{5}sin5t\right)$

Пошаговое объяснение:

$F(p)=\dfrac{2p+7}{p^2-10p+50}=\dfrac{2(p-5)+\frac{17}{5}\cdot 5}{(p-5)^2+5^2}=2\cdot \dfrac{p-5}{(p-5)^2+5^2}+\dfrac{17}{5}\cdot \dfrac{5}{(p-5)^2+5^2}$

В силу линейности, имеем

$f(t)=L^{-1}(F(p))=2\cdot L^{-1}\left(\dfrac{p-5}{(p-5)^2+5^2}\right)+\dfrac{17}{5}\cdot L^{-1}\left(\dfrac{5}{(p-5)^2+5^2}\right)=(*)$

Используя таблицу оригиналов и изображений, получим

$(*)=2\cdot e^{5t}cos5t+\dfrac{17}{5}\cdot e^{5t}sin5t=e^{5t}\left(2cos5t+\dfrac{17}{5}sin5t\right)$