Question

Материальная точка движется по закону x = 2t, y = t². Выразите зависимость радиуса кривизны траектории от времени

Answer 1

При движении по кривой ускорение материальной точки складывается из нормальной составляющей и тангенциальной (причем они ортогональны): $\vec{a}=\vec{a}_{n}+\vec{a}_{\tau}$

Найдём модули всех указанных векторов.

1) $\vec{a}=\{\ddot{x};\ddot{y}\}=\{0;2\}\implies a=2$

2) $\vec{a}_{n}=\dfrac{v^2}{R}\,\vec{n}$, где $R$ - радиус кривизны в данной точке (момент времени). Причём, $\vec{v}=\{\dot{x};\dot{y}\}=\{2;2t\}=2\,\{1;t\}\implies v=2\sqrt{1+t^2}$. Таким образом, $a_{n}=\dfrac{v^2}{R}=\dfrac{4(1+t^2)}{R}$

3) $\vec{a}_{\tau}=\dot{v}\vec{\tau}\implies a_{\tau}=\dot{v}=\dfrac{2t}{\sqrt{1+t^2}}$

Поскольку $\vec{a}=\vec{a}_{n}+\vec{a}_{\tau}$ и $\vec{a}_{n}\perp\vec{a}_{\tau}$, то из прямоугольного треугольника на трёх указанных векторах получим:

$\bigg(\dfrac{2t}{\sqrt{1+t^2}}\bigg)^2+\bigg(\dfrac{4(1+t^2)}{R}\bigg)^2=2^2$

$4t^2+\dfrac{16\big(1+t^2\big)^3}{R^2}=4(1+t^2)\implies R=2\big(1+t^2\big)^{\tfrac{3}{2}}$

Ответ. $R=2\big(1+t^2\big)^{\tfrac{3}{2}}$

PS. Наиболее быстро ответ можно получить с помощью дифференциальной геометрии.

Кривизной траектории выраженной явно $y=f(x)$ называется величина $k=\dfrac{|f''|}{\big(1+(f')^2\big)^{\frac{3}{2}}}$, а радиусом кривизны - величина $R=\dfrac{1}{k}$.

Для нашей задачи, $y(x)=\dfrac{x^2}{4}$. Отсюда $|y''|=\dfrac{1}{2}$ и $y'=\dfrac{x}{2}=t$.

Сразу же получаем $k=\dfrac{\tfrac{1}{2}}{\big(1+t^2\big)^{\tfrac{3}{2}}}\implies R=2\big(1+t^2\big)^{\tfrac{3}{2}}$