Question

Даю 75 баллов!

Докажите лемму: Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника на два подобных прямоугольных прямоугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Answer 1

Ответ:

Смотрите доказательство!

Объяснение:

Дано: ∠ABC = 90°, BH ⊥ AC

Доказать: $зAHB \sim BHC \sim зABC$

Доказательство: Так как по условию BH ⊥ AC, то треугольник ΔAHB и ΔCHB - прямоугольные. Пусть угол ∠BAC = α.

Рассмотрим треугольник ΔABC. По теореме про сумму углов треугольника:

∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180° ⇒ ∠ACB = 180° - ∠ABC - ∠BAC =

= 180° - 90° - α = 90° - α.

Рассмотрим треугольник ΔAHB. По теореме про сумму углов треугольника:

∠BHA + ∠BAH + ∠ABH = 180° ⇒ ∠ABH = 180° - ∠BHA - ∠BAH =

= 180° - 90° - α = 90° - α.

Рассмотрим треугольник ΔCHB. По теореме про сумму углов треугольника:

∠CHB + ∠HCB + ∠HBC = 180° ⇒ ∠HBC = 180° - ∠CHB - ∠HCB =

= 180° - 90° - (90° - α) = 90° - (90° - α) = 90° - 90° + α = α.

Треугольник $зAHB \sim BHC \sim зABC$ по трем углам так как:

∠ABC = ∠BHC = ∠BHA = 90°

∠BAC = ∠HBC = α

∠ABH = ∠HCB = 90° - α.