Question

Требуется огородить прямоугольный участок земли так, чтобы при данном количестве погонных метров изгороди, равной 100 м, площадь участка была наибольшей. Найдите стороны этого участка.

Answer 1

Пусть x и y - стороны этого участка. По условию, периметр участка равен 2(x+y)=100 => y=50-x.

Площадь участка равна:

 $S=xcdot y=x(50-5)=50x-x^2,quad 0<x<50$</var></p> <p>Задача сводится к нахождению наибольшего значения функции S на отрезке (0;50). Для этого найдём производную, приравняем её к нулю и найдём x:</p> <p><img src=[/tex]\S'=50-2x=0Rightarrow x=25\" title="S=xcdot y=x(50-5)=50x-x^2,quad 0<x<50" title="\S'=50-2x=0Rightarrow x=25\" title="S=xcdot y=x(50-5)=50x-x^2,quad 0<x<50" alt="\S'=50-2x=0Rightarrow x=25\" title="S=xcdot y=x(50-5)=50x-x^2,quad 0<x<50" />

Задача сводится к нахождению наибольшего значения функции S на отрезке (0;50). Для этого найдём производную, приравняем её к нулю и найдём x:

$S=xcdot y=x(50-5)=50x-x^2,quad 0<x<50$

Задача сводится к нахождению наибольшего значения функции S на отрезке (0;50). Для этого найдём производную, приравняем её к нулю и найдём x:

$<var>\S'=50-2x=0Rightarrow x=25\" /></var></p> <p>Проверяем значения функции на концах отрезка и в точке x=25:</p> <p>[tex]\S(0)=50cdot0-0=0\S(50)=50cdot50-50^2=2500-2500=0\S(25)=50cdot25-25^2=25(50-25)=25cdot25=625$

Ответ: площадь будет максимальной и составит 625 кв.м. при стороне участка 25 м. (участок квадратный)