Question

Найти сумму числового ряда

Answer 1

$\displaystyle \sum^{+\infty}_{n=0}n\cdot \left(\dfrac{4}{5}\right)^n=\dfrac{4}{5}\sum^{+\infty}_{n=0}n\cdot \left(\dfrac{4}{5}\right)^{n-1}$

Рассмотрим сумму ряда $\displaystyle\sum^{+\infty}_{n=0}n\cdot \left(\dfrac{4}{5}\right)^{n-1}$. Положим $x=\dfrac{4}{5}$, получаем

$\displaystyle \sum^{+\infty}_{n=0}n\cdot x^{n-1}=\left(\sum^{+\infty}_{n=0}x^n\right)'=\left(\dfrac{1}{1-x}\right)'=\dfrac{1}{(1-x)^2}$

Пояснения: здесь $|x|<1$, значит эта сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $1$ и знаменателем $x.$

Подставляя $x=\dfrac{4}{5}$, мы получаем $\dfrac{1}{(1-4/5)^2}=25$, тогда окончательно имеем, что $\displaystyle \sum^{+\infty}_{n=0}n\cdot \left(\dfrac{4}{5}\right)^n=\dfrac{4}{5}\cdot 25=20$

Ответ: 20.