Предмет: Алгебра, автор: Rasul4eg

Найти сумму числового ряда

Приложения:

Ответы

Автор ответа: Аноним
1

\displaystyle \sum^{+\infty}_{n=0}n\cdot \left(\dfrac{4}{5}\right)^n=\dfrac{4}{5}\sum^{+\infty}_{n=0}n\cdot \left(\dfrac{4}{5}\right)^{n-1}

Рассмотрим сумму ряда \displaystyle\sum^{+\infty}_{n=0}n\cdot \left(\dfrac{4}{5}\right)^{n-1}. Положим x=\dfrac{4}{5}, получаем

\displaystyle \sum^{+\infty}_{n=0}n\cdot x^{n-1}=\left(\sum^{+\infty}_{n=0}x^n\right)'=\left(\dfrac{1}{1-x}\right)'=\dfrac{1}{(1-x)^2}

Пояснения: здесь |x|<1, значит эта сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем x.

Подставляя x=\dfrac{4}{5}, мы получаем \dfrac{1}{(1-4/5)^2}=25, тогда окончательно имеем, что \displaystyle \sum^{+\infty}_{n=0}n\cdot \left(\dfrac{4}{5}\right)^n=\dfrac{4}{5}\cdot 25=20

Ответ: 20.

Похожие вопросы
Предмет: Русский язык, автор: sanysha190802
Предмет: Алгебра, автор: sofiyanazarova